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Lexikon der Mathematik: Geradenmethode

Grenzfall eines Differenzenverfahrens für elliptische Differentialgleichungen in zwei Raumrichtungen, indem für eine der Raumrichtungen die Schrittweite gegen Null geht. Dadurch entsteht nicht wie bei Differenzenverfahren ein System algebraischer Gleichungen für die unbekannten Funktionswerte in den Gitterpunkten, sondern ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Sei etwa die Poisson-Gleichung \begin{eqnarray}{u}_{xx}(x,y)+{u}_{yy}(x,y)=f(x,y)\end{eqnarray} vorgeben in einem rechteckigen Gebiet axb, cyd mit Randbedingungen \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}u(x,c)={\phi }_{0}(x), & u(x,d)={\phi }_{1}(x),\\ u(a,y)={\psi }_{0}(y), & u(b,y)={\psi }_{1}(y).\end{array}\end{eqnarray}

Diskretisiert man nun in y-Richtung gemäß \begin{eqnarray}{y}_{j}:=c+jh,\space j=0,1,\ldots,N,\end{eqnarray} und approximiert die Ableitungen nach y auf den Geraden y = yj, j = 1,…, N − 1, durch die Differenzenausdrücke \begin{eqnarray}{u}_{yy}(x,{y}_{j})\approx \frac{1}{{h}^{2}}(u(x,{y}_{j-1})-2u(x,{y}_{j})+u(x,{y}_{j+1})),\end{eqnarray} so entsteht für jede dieser Geraden eine Gleichung \begin{eqnarray}{u}_{j}^{\prime\prime}+\frac{1}{{h}^{2}}({u}_{j-1}-2{u}_{j}+{u}_{j+2})={f}_{j},\end{eqnarray} wobei \({u}_{j}:=u(x,\space {y}_{j}),\space {u}_{j}^{^{\prime\prime} }\space :=\space {u}_{xx}(x,\space {y}_{j})\) und fjf(x, yj). Zusammen mit den Randbedingungen stellt dies ein gekoppeltes System gewöhnlicher Differentialgleichungen dar, dessen Lösung sich in geschlossener Form darstellen und unter Einsatz numerischer Methoden ermitteln läßt.

[1] Demidowitsch, B.P. et al.: Numerische Methoden der Analysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1968.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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