Interpretation der Martingaleigenschaft.

Es sei \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie (X_n)_n∈N eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in {−1, 1} und P(X_n = 1) = p für alle n ∈ ℕ, bei der das Ereignis {X_n = 1} als Gewinn und das Ereignis {X_n = −1} als Verlust bei der n-ten Wiederholung eines Spiels interpretiert wird. Weiterhin sei \({e}_{n}:\space {\{-1,\space 1\}}^{n}\to \space {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) für jedes n ∈ ℕ eine Abbildung mit der Interpretation als Strategie des Spielers, in Abhängigkeit von den Ausgängen der ersten n Spiele im (n + 1)-ten Spiel einen bestimmten Betrag einzusetzen.

Für die induktiv durch S₁ ≔ X₁ und \begin{eqnarray}{S}_{n+1}:={S}_{n}+{X}_{n+1}{e}_{n}({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\end{eqnarray} definierte Folge (S_n)_{n ∈ ℕ} von Zufallsvariablen gilt dann P-fast sicher \begin{eqnarray}E({S}_{n+1}|{X}_{1},\ldots,{X}_{n})={S}_{n}+(2p-1){e}_{n}({X}_{1},\ldots,{X}_{n}).\end{eqnarray}

Das Spiel wird als gerecht bezeichnet, wenn \(p=\frac{1}{2}\) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn (S_n)_{n ∈ ℕ} ein Martingal bezüglich der zur Folge (X_n)_{n ∈ ℕ} gehörigen kanonischen Filtration ist. Entsprechend spricht man von einem vorteilhaften Spiel bzw. unvorteilhaften Spiel, wenn \(p\gt \frac{1}{2}\) bzw. \(p\lt \frac{1}{2}\) gilt, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn (S_n)_{n ∈ ℕ} ein Submartingal bzw. ein Supermartingal ist.