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Lexikon der Mathematik: gerechtes Spiel

Interpretation der Martingaleigenschaft.

Es sei \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie (Xn)nN eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in {−1, 1} und P(Xn = 1) = p für alle n ∈ ℕ, bei der das Ereignis {Xn = 1} als Gewinn und das Ereignis {Xn = −1} als Verlust bei der n-ten Wiederholung eines Spiels interpretiert wird. Weiterhin sei \({e}_{n}:\space {\{-1,\space 1\}}^{n}\to \space {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) für jedes n ∈ ℕ eine Abbildung mit der Interpretation als Strategie des Spielers, in Abhängigkeit von den Ausgängen der ersten n Spiele im (n + 1)-ten Spiel einen bestimmten Betrag einzusetzen.

Für die induktiv durch S1X1 und \begin{eqnarray}{S}_{n+1}:={S}_{n}+{X}_{n+1}{e}_{n}({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\end{eqnarray} definierte Folge (Sn)n ∈ ℕ von Zufallsvariablen gilt dann P-fast sicher \begin{eqnarray}E({S}_{n+1}|{X}_{1},\ldots,{X}_{n})={S}_{n}+(2p-1){e}_{n}({X}_{1},\ldots,{X}_{n}).\end{eqnarray}

Das Spiel wird als gerecht bezeichnet, wenn \(p=\frac{1}{2}\) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn (Sn)n ∈ ℕ ein Martingal bezüglich der zur Folge (Xn)n ∈ ℕ gehörigen kanonischen Filtration ist. Entsprechend spricht man von einem vorteilhaften Spiel bzw. unvorteilhaften Spiel, wenn \(p\gt \frac{1}{2}\) bzw. \(p\lt \frac{1}{2}\) gilt, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn (Sn)n ∈ ℕ ein Submartingal bzw. ein Supermartingal ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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