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Lexikon der Mathematik: geschlossener Orbit

periodischer Orbit γM eines dynamischen Systems (M, G, Φ), der eine Minimalperiode besitzt.

Geschlossene Orbits sind also alle periodischen Orbits bis auf Fixpunkte. Jeder (periodische) Punkt xγ mit Minimalperiode T ist Fixpunkt der Abbildung ΦT ≔ Φ(⋅, T) : MM. Für einen Fluß (M, ℝ, Φ) bezeichne F das zugehörige Vektorfeld.

Für das Differential \begin{eqnarray}d{{\rm{\Phi }}}_{T}(x):{T}_{x}M\to {T}_{x}M\end{eqnarray} gilt \begin{eqnarray}d{{\rm{\Phi }}}_{T}(x)F(x)=F(x),\end{eqnarray} d.h., 1 ist Eigenwert von dΦT(x). Die übrigen Eigenwerte von dΦT(x) sind unabhängig von der Wahl von xγ und heißen charakteristische Multiplikatoren von γ.

Ein geschlossener Orbit γ heißt entartet, falls die Linearisierung der Poincaré-Abbildung, die in einer geeigneten Umgebung eines x0γ definiert ist (die Eigenwerte dieser Linearisierung sind unabhängig von x0), 1 als Eigenwert besitzt. Ein nichtentarteter geschlossener Orbit eines Vektorfeldes ändert bei kleiner Änderung des Vekorfeldes seine Lage, verschwindet jedoch nicht (Satz über implizite Funktionen). Entartete geschlossene Orbits dagegen können sich in mehrere teilen bzw. verschwinden. Dieser Begriff ist daher zur Charakterisierung strukturstabiler Vektorfelder nützlich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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