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Lexikon der Mathematik: Gesetz vom iterierten Logarithmus

Aussage über das Ausmaß, in dem die ausgehend von einer Folge (Xn)n∈ℕ von Zufallsvariablen gebildete Folge (Sn)n∈ℕ der Partialsummen SnX1 + … + Xn fluktuiert.

Sei (Xn)n∈ℕeine Folge von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\)definierten unabhängigen identisch verteilten und quadratisch integrierbaren reellen Zufallsvariablen mit E(Xn) = 0. Dann gelten für die Folge (Sn)n∈ℕder zugehörigen Partialsummen P-fast sicher die Beziehungen \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\space \sup }\limits_{n\to \infty }\frac{{S}_{n}}{\sqrt{2nL(n)}}=+\sigma \end{eqnarray}und \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\space \inf }\limits_{n\to \infty }\frac{{S}_{n}}{\sqrt{2nL(n)}}=-\sigma,\end{eqnarray}wobei \(\sigma \space :=\space \sqrt{Var({X}_{n})}\)die für alle n ∈ ℕ identische Streuung bezeichnet.

Die Funktion L ist dabei durch \begin{eqnarray}L:{{\mathbb{R}}}^{+}\ni x\to \left \{\begin{array}{rl}1, & \mathrm{ln}\space x\le e\\ \mathrm{ln}\space \mathrm{ln}\space x, & \mathrm{ln}\space x\gt e\end{array}\right.\in {{\mathbb{R}}}^{+}\end{eqnarray} definiert und wird als iterierter Logarithmus bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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