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Lexikon der Mathematik: glätten

im Sinne der geometrischen Datenverarbeitung das Verändern von numerisch oder geometrisch gegebenen Daten so, daß eine geeignet definierte Rauhigkeit vermindert und eine geeignet präzisierte Grundform erhalten bleibt.

Zwei Beispiele sind sehr einfach und können als Modell dienen: Angenommen, allen ganzen Zahlen i ∈ ℤ wird ein Wert ti zugeordnet. Es ist dem naiven Betrachter klar, daß die Vorschrift \begin{eqnarray}{\bar{t}}_{ij}=\frac{1}{4}({t}_{i-1}+2{t}_{i}+{t}_{i+1}),\end{eqnarray} die jedem i ∈ ℤ einen gewichteten Mittelwert, definiert durch die Maske (1, 2, 1), zuweist, eine glättende Wirkung besitzt. Für viele Probleme gibt es geeignete Masken zum Glätten und Verschleiern von regelmäßig angeordneten Datenwerten.

Ein anderes Beispiel ist das folgende: Sei f eine Funktion, die eine Dastellung als Fourierreihe \begin{eqnarray}f(t)=\displaystyle \sum _{n\ge 0}{a}_{n}\space \cos (nt)+\displaystyle \sum _{n\gt 0}{b}_{n}\space \sin (nt)\end{eqnarray} besitzt, und sei n0 ∈ ℕ gewählt. Die Funktion \(\bar{f}(t)\), die aus f durch Nullsetzen aller Fourierkoeffizienten an, bn mit n > n0 entsteht, ist in der Frequenz ihrer Welligkeit durch n0 begrenzt, und liegt ‚nahe‘ an f (wobei ‚nahe‘ z. B. im L2-Sinne verstanden werden kann).

Dieses zweite Beispiel dient als Motivation für Glättungsverfahren, bei denen eine Funktion als Summe von anderen Funktionen von definierter Welligkeit geschrieben wird, und sofern der Beitrag der höherwelligen Anteile klein ist, diese ganz unterdrückt werden.

Der Nichtmathematiker kommt mit Glättungsverfahren in der Bildverarbeitung und in der geometrischen Datenverarbeitung in Kontakt. Siehe auch Glättung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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