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Lexikon der Mathematik: glatte Kurve

das Bild \({\mathscr{K}}\) eines Intervalls (a, b) ⊂ ℝ bei einer differenzierbaren Abbildung γ: (a, b) → M in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M.

Mit der Forderung nach Differenzierbarkeit ist noch nicht ausgeschlossen, daß bei \({\mathscr{K}}\) Singularitäten, wie z. B. Ecken oder Spitzen auftreten. Das wird erst erreicht, wenn der Tangentialvektor (t)/dt für alle t ∈ (a, b) ungleich Null ist. Ferner ist zu fordern, daß der Grenzwert lim ta nicht mit einem Kurvenpunkt γ(t0) für a < t0 < b zusammenfällt. Das wird durch eine topologische Bedingung ausgeschlossen. Das Urbild jeder kompakten Teilmenge von M bei γ muß eine kompakte Teilmenge von (a, b) sein. Abbildungen, die diese Eigenschaft besitzen, heißen eigentlich oder proper.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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