Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: glatter Morphismus

Übertragung des herkömmlichen Glattheitsbegriffs auf Morphismen von Schemata bzw. komplexen Räumen.

Sei ϕ : XY ein Morphismus von Schemata und xX ein Punkt. Dann heißt ϕ glatt im Punkte xX, wenn es eine Umgebung VY von ϕ(x), eine Umgebung U ⊂ ϕ−1VX von x, ein n, eine offene Teilmenge \(U^{\prime} \space \subset \space V\times {{\mathbb{A}}}^{n}\) und eine abgeschlossene Einbettung \(U\hookrightarrow U^{\prime} \) gibt, so daß gilt:

  1. Das Ideal von U in U′ wird erzeugt durch Polynome \({f}_{1},\ldots, {f}_{r}\in {{\mathscr{O}}}_{Y}(V)[{z}_{1},\ldots, {z}_{n}]\) (z1, …, zn Koordinaten auf \({{\mathbb{A}}}^{n}\)).
  2. Rang \({(\frac{\partial {f}_{i}}{\partial {z}_{j}}(x))}_{i\le r\\ i\le n}=r\).

Im Falle komplexer Räume ist die Definition analog, wobei \({{\mathbb{A}}}^{n}\) zu ersetzen ist durch ∆n (∆ ⊂ ℂ eine offene Kreisscheibe mit dem Nullpunkt als Zentrum) und „Polynome“ durch „analytische Funktionen“. Aufgrund des Satzes über implizite Funktionen ist diese Eigenschaft hier allerdings äquivalent zu der Eigenschaft, daß x, ϕ(x) Umgebungen U, V besitzen und \(U\space \mathop{\to }\limits^{\varphi }V\) isomorph zu ∆p × VV (Projektion) ist (mit p = nr). Offenbar ist die Eigenschaft „glatt“ eine offene Eigenschaft.

Punkte, in denen ein Morphismus ϕ nicht glatt ist, heißen auch kritische Punkte von ϕ, und ihre Bilder unter ϕ heißen kritische Werte.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos