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Lexikon der Mathematik: gleichgradige Differentialgleichung

eine Differentialgleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}P(x,y,y^{\prime}, \ldots, {y}^{n})=0, & (1)\end{array}\end{eqnarray} wobei P(x, y, y1, …, yn) eine Summe von Gliedern \(a{x}^{\alpha }{y}^{\beta }{y}_{1}^{{\beta }_{1}}\ldots {y}_{n}^{{\beta }_{n}}\) ist, und für r, k ≠ 0 alle Glieder in \begin{eqnarray}P({x}^{r},{x}^{k},{x}^{k-r},{x}^{k-2r},\ldots, {x}^{k-nr})\end{eqnarray} von gleichem Grad sind.

Für r ≠ 0 kann r = 1 gewählt werden. Durch die Transformation \begin{eqnarray}y(x)=|x{|}^{k}v(\xi ),\space \space \xi =\mathrm{log}|x|\end{eqnarray} geht (1) in eine Differentialgleichung über, in der ξ nicht explizit vorkommt, die auf eine Differentialgleichung niedrigerer Ordnung zurückgeführt werden kann.

Für r = 0 geht die DGL durch die Transformation \(u(x)\space =\space \frac{y^{\prime} }{y}\) in eine DGL niedrigerer Ordnung über.

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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