eine Menge holomorpher Funktionen, die auf einer Teilmenge von ℂ beschränkt ist.

Die genaue Definition lautet: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, ℱ eine Menge holomorpher Funktio-nen f: D → ℂ (eine Menge von Funktionen nennt man auch Funktionenfamilie) und A ⊂ D. Die Familie ℱ heißt gleichmäßig beschränkt auf A, falls es eine Konstante M > 0 gibt derart, daß |f (z)| ≤ M für alle z ∈ A und alle f ∈ ℱ. Kurz formuliert bedeutet dies: \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{f\in {\mathscr{F}}}\space \mathop{\sup }\limits_{z\in A}|f(z)|\space \space \lt \infty.\end{eqnarray}

Die Familie ℱ heißt lokal gleichmäßig beschränkt in D, falls es zu jedem Punkt z₀ ∈ D eine Umgebung U ⊂ D von a gibt derart, daß ℱ auf U gleichmäßig beschränkt ist. Eine hierzu äquivalente Bedingung ist, daß ℱ auf jeder kompakten Teilmenge K ⊂ D gleichmäßig beschränkt ist. Insbesondere ist eine Funktionenfamilie ℱ in einer offenen Kreisscheibe B_r(z₀) (mit Mittelpunkt z₀ ∈ ℂ und Radius r > 0) lokal gleichmäßig beschränkt, falls ℱ auf jeder Kreisscheibe B_ϱ(z₀) mit 0 < ϱ < r gleichmäßig beschränkt ist.

Eine in D beschränkte Funktionenfamilie ℱ ist offensichtlich auch lokal gleichmäßig beschränkt. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch im allgemeinen nicht, denn ist f_n(z) = nzⁿ und ℱ := {f_n : n ∈ ℕ}, so ist ℱ in \({\mathbb{E}}\space =\space \{z\in {\mathbb{C}}\space :\space |z|\space \lt \space 1\}\) lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig beschränkt.

Einige Beispiele lokal gleichmäßig beschränkter Funktionenfamilien:

1. Die Familien \({ {\mathcal F} }_{k}=\{{f}_{n}:\space n\space \in \space {\mathbb{N}}\space \}\) mit f_n (z) = n^kzⁿ, k ∈ ℕ₀ sind lokal gleichmäßig beschränkt in \({\mathbb{E}}\).
2. Die Familie ℱ = {f_n : n ∈ ℕ} mit \({f}_{n}(z)\space =\space \frac{z}{n}\) ist lokal gleichmäßig beschränkt in ℂ.
3. Es sei \( {\mathcal F} \space \subset \space {\mathscr{O}}({\mathbb{E}})\) und für f ∈ ℱ sei \(f(z)\space =\space \displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}(f){z}^{n}\) die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt 0. Dann ist ℱ lokal gleichmäßig beschränkt in \({\mathbb{E}}\) genau dann, wenn eine Folge (M_n) mit M_n > 0 existiert derart, daß \({\mathrm{lim\; sup}}_{n\to \infty }{M}_{n}^{1/n}\le 1\) und |a_n(f)| ≤ M_n für alle n ∈ ℕ₀ und alle f ∈ ℱ.
4. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, M > 0 und \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}:=\left\{f\in {\mathscr{O}}(G):{\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{G}|f(z)|}^{2}dx\space dy\le M\right\}.\end{eqnarray}

Dann ist ℱ lokal gleichmäßig beschränkt in G.

Ist eine Funktionenfamilie ℱ lokal gleichmäßig beschränkt in D, so gilt dies auch für die Familie ℱ′ = {f′ : f ∈ ℱ} der Ableitungen. Die umgekehrte Aussage ist im allgemeinen falsch, denn ist f_n(z) = z + n und ℱ := {f_n : n ∈ ℕ}, so ist ℱ′ in ℂ gleichmäßig beschränkt, aber die Folge (f_n(z)) ist für jedes z ∈ ℂ unbeschränkt. Unter der Zusatzvoraussetzung sup_f∈ℱ |f(z₀)| < ∞ für ein z₀ ∈ D impliziert jedoch die lokal gleichmäßige Beschränktheit von ℱ′ in D die von ℱ in D.

Weiter ist eine in D lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfamilie ℱ auch gleichgradig stetig in D, d. h. zu jedem z₀ ∈ D und jedem ϵ > 0 gibt es ein δ = δ (z₀, ϵ) derart, daß für alle z ∈ D mit |z − z₀| < δ und alle f ∈ ℱ gilt \begin{eqnarray}|f(z)-f({z}_{0})|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Für diese Aussage ist die Holomorphie der Funktionen in ℱ von entscheidender Bedeutung. Die Umkehrung gilt im allgemeinen aber nicht, denn die Familie ℱ = {f_n : n ∈ ℕ} mit f_n(z) = z + n, z ∈ ℂ ist gleichgradig stetig in ℂ, aber nicht lokal gleichmäßig beschränkt in ℂ.