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Lexikon der Mathematik: gleichmäßig beschränkte Funktionenfamilie

eine Menge holomorpher Funktionen, die auf einer Teilmenge von ℂ beschränkt ist.

Die genaue Definition lautet: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, eine Menge holomorpher Funktio-nen f: D → ℂ (eine Menge von Funktionen nennt man auch Funktionenfamilie) und AD. Die Familie heißt gleichmäßig beschränkt auf A, falls es eine Konstante M > 0 gibt derart, daß |f (z)| ≤ M für alle zA und alle f. Kurz formuliert bedeutet dies: \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{f\in {\mathscr{F}}}\space \mathop{\sup }\limits_{z\in A}|f(z)|\space \space \lt \infty.\end{eqnarray}

Die Familie heißt lokal gleichmäßig beschränkt in D, falls es zu jedem Punkt z0D eine Umgebung UD von a gibt derart, daß auf U gleichmäßig beschränkt ist. Eine hierzu äquivalente Bedingung ist, daß auf jeder kompakten Teilmenge KD gleichmäßig beschränkt ist. Insbesondere ist eine Funktionenfamilie in einer offenen Kreisscheibe Br(z0) (mit Mittelpunkt z0 ∈ ℂ und Radius r > 0) lokal gleichmäßig beschränkt, falls auf jeder Kreisscheibe Bϱ(z0) mit 0 < ϱ < r gleichmäßig beschränkt ist.

Eine in D beschränkte Funktionenfamilie ist offensichtlich auch lokal gleichmäßig beschränkt. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch im allgemeinen nicht, denn ist fn(z) = nzn und := {fn : n ∈ ℕ}, so ist in \({\mathbb{E}}\space =\space \{z\in {\mathbb{C}}\space :\space |z|\space \lt \space 1\}\) lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig beschränkt.

Einige Beispiele lokal gleichmäßig beschränkter Funktionenfamilien:

  1. Die Familien \({ {\mathcal F} }_{k}=\{{f}_{n}:\space n\space \in \space {\mathbb{N}}\space \}\) mit fn (z) = nkzn, k ∈ ℕ0 sind lokal gleichmäßig beschränkt in \({\mathbb{E}}\).
  2. Die Familie = {fn : n ∈ ℕ} mit \({f}_{n}(z)\space =\space \frac{z}{n}\) ist lokal gleichmäßig beschränkt in ℂ.
  3. Es sei \( {\mathcal F} \space \subset \space {\mathscr{O}}({\mathbb{E}})\) und für f sei \(f(z)\space =\space \displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}(f){z}^{n}\) die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt 0. Dann ist lokal gleichmäßig beschränkt in \({\mathbb{E}}\) genau dann, wenn eine Folge (Mn) mit Mn > 0 existiert derart, daß \({\mathrm{lim\; sup}}_{n\to \infty }{M}_{n}^{1/n}\le 1\) und |an(f)| ≤ Mn für alle n ∈ ℕ0 und alle f.
  4. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, M > 0 und \begin{eqnarray}{\mathscr{F}}:=\left\{f\in {\mathscr{O}}(G):{\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{G}|f(z)|}^{2}dx\space dy\le M\right\}.\end{eqnarray}

Dann ist lokal gleichmäßig beschränkt in G.

Ist eine Funktionenfamilie lokal gleichmäßig beschränkt in D, so gilt dies auch für die Familie ′ = {f′ : f} der Ableitungen. Die umgekehrte Aussage ist im allgemeinen falsch, denn ist fn(z) = z + n und := {fn : n ∈ ℕ}, so ist ′ in ℂ gleichmäßig beschränkt, aber die Folge (fn(z)) ist für jedes z ∈ ℂ unbeschränkt. Unter der Zusatzvoraussetzung supf |f(z0)| < ∞ für ein z0D impliziert jedoch die lokal gleichmäßige Beschränktheit von ′ in D die von in D.

Weiter ist eine in D lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfamilie auch gleichgradig stetig in D, d. h. zu jedem z0D und jedem ϵ > 0 gibt es ein δ = δ (z0, ϵ) derart, daß für alle zD mit |zz0| < δ und alle f gilt \begin{eqnarray}|f(z)-f({z}_{0})|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Für diese Aussage ist die Holomorphie der Funktionen in von entscheidender Bedeutung. Die Umkehrung gilt im allgemeinen aber nicht, denn die Familie = {fn : n ∈ ℕ} mit fn(z) = z + n, z ∈ ℂ ist gleichgradig stetig in ℂ, aber nicht lokal gleichmäßig beschränkt in ℂ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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