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Lexikon der Mathematik: gleichmäßig konvexer Raum

ein Banachraum, dessen Norm folgende Eigenschaft zukommt: Für alle ϵ > 0 existiert ein δ > 0 mit \begin{eqnarray}\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1,\space \space \Vert \frac{x+y}{2}\Vert \ge 1-\delta \Rightarrow \Vert x-y\Vert \le \varepsilon.\end{eqnarray}

Die gleichmäßige Konvexität ist eine quantitative Fassung der strikten Konvexität (strikt konvexer Raum), die sie offensichtlich impliziert.

Beispiele gleichmäßig konvexer Räume sind p, Lp (μ) und die p-Schatten-Klassen für 1 < p < ∞; der Beweis beruht auf den Clarksonschen Ungleichungen.

Jeder gleichmäßig konvexe Raum ist reflexiv (Satz von Milman-Pettis). Die Umkehrung gilt nicht: Genau die superreflexiven Räume gestatten eine gleichmäßig konvexe äquivalente Norm.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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