Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: gleichmäßig stetige Funktion

eine Funktion f : XY eines metrischen Raums X in einen metrischen Raum Y mit der Eigenschaft, daß es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 derart gibt, daß f je zwei Punkte, die näher als δ beieinander liegen, auf zwei Punkte abbildet, die näher als ∈ beieinander liegen. Sind dX, dY die Metriken auf X bzw. Y, so lautet das Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit mit Quantoren geschrieben: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\forall \varepsilon \gt 0\exists \delta \gt 0\forall {x}_{1},{x}_{2}\in X\\ ({d}_{X}({x}_{1},{x}_{2})\lt \delta \Rightarrow {d}_{Y}(f({x}_{1}),f({x}_{2}))\lt \varepsilon )\end{array}\end{eqnarray}

Im Spezialfall normierter Vektorräume (X, ∥ ∥X) und (Y, ∥ ∥Y) lautet es: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\forall \varepsilon \gt 0\space \exists \delta \gt 0\space \forall {x}_{1},{x}_{2}\in X\\ \space \space \space ({\Vert {x}_{1}-{x}_{2}\Vert }_{X}\lt \delta \Rightarrow {\Vert f({x}_{1})-f({x}_{2})\Vert }_{Y}\lt \varepsilon )\end{array}\end{eqnarray}

Mittels der Vierecksungleichung für dX sieht man, daß dX : X2 → [0, ∞) gleichmäßig stetig bzgl. der für x1, x2, x3, x4X durch \begin{eqnarray}{d}_{{X}^{2}}(({x}_{1},{x}_{2}),\space \space ({x}_{3},{x}_{4}))={d}_{X}({x}_{1},{x}_{3})+{d}_{X}({x}_{2},{x}_{4})\end{eqnarray} definierten Metrik dX2 : (X2)2 → [0, ∞) ist. Im Fall eines normierten Raums (X, ∥ ∥X) zeigt \begin{eqnarray}|{\Vert {x}_{1}\Vert }_{X}-{\Vert {x}_{2}\Vert }_{X}|\le {\Vert {x}_{1}-{x}_{2}\Vert }_{X}\end{eqnarray} für x1, x2X, daß ∥ ∥X : X → [0, ∞) gleichmäßig stetig bzgl. ∥ ∥X ist.

Jede gleichmäßig stetige Funktion f ist offensichtlich stetig, d. h. sie erfüllt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\forall {x}_{1}\in x\space \space \forall \varepsilon \gt 0\space \space \exists \delta \gt 0\space \space \forall {x}_{2}\in X\\ \space \space \space ({d}_{X}({x}_{1},{x}_{2})\lt \delta \Rightarrow {d}_{Y}(f({x}_{1}),f({x}_{2}))\lt \varepsilon ),\end{array}\end{eqnarray} jedoch nicht umgekehrt, denn strenger als bei der Stetigkeit wird bei gleichmäßiger Stetigkeit gefordert, daß zu gegebenem ϵ ein δ sich unabhängig von x1, x2 wählen läßt, während bei der Stetigkeitsbedingung das δ von der vorgegebenen Stelle x1 abhängen darf. So sind etwa die Funktionen f(x) = x2 auf ℝ oder \(f(x)\space =\space \frac{1}{x}\) auf (0, 1] stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Jedoch ist jede dehnungsbeschränkte Funktion, insbesondere jede differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung, gleichmäßig stetig, aber nicht umgekehrt, wie man an stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen mit unbeschränkter Ableitung, etwa der Funktion f : [0, 1] → ℝ mit f(0) = 0 und \(f(x)\space =\space x\space \sin \space \frac{1}{x}\) für 0 < x ≤ 1, sieht. Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist nämlich gleichmäßig stetig.

Die gleichmäßige Stetigkeit bewirkt die Übertragung von Vollständigkeitseigenschaften: Das Bild einer Cauchy-Folge unter einer gleichmäßig stetigen Funktion ist wieder eine Cauchy-Folge. Ist daher f : XY bijektiv und gleichmäßig stetig und f−1 stetig, so ist mit Y auch X vollständig.

Gleichmäßige Stetigkeit läßt sich allgemeiner als für Funktionen zwischen metrischen Räumen auch im Rahmen uniformer Räume definieren.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos