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Lexikon der Mathematik: Gleichung

zwei durch ein Gleichheitszeichen verbundene Terme, also z. B. T1 = T2 für Terme T1, T2, gesprochen „T1 gleich T2“.

Hierin heißt T1 (aus offensichtlichen Gründen) die linke und T2 die rechte Seite der Gleichung.

Seien x1, …, xn die in den Termen T1, T2 vorkommenden Variablen, d.h. es sei T1 = T1 (x1, …, xn) und T2 = T2(x1, …, xn), wobei nicht alle Variablen in beiden Termen vorhanden sein müssen. Man nennt T1 = T2 dann eine Gleichung in n Variablen. Für n = 0 ist die Gleichung T1 = T2 eine Aussage, also entweder wahr (z. B. 2 + 3 = 1 + 4) oder falsch (z. B. 1 = 0). Bei n > 0 ist die Gleichung T1 = T2 eine Aussageform und kann die Aufgabe ausdrücken, für x1, …, xn Werte aus dem Definitionsbereich \({\mathbb{D}}\) der Gleichung zu finden, die die Gleichung lösen, d.h. bei Einsetzen in T1, T2 die Gleichung zu einer wahren Aussage machen, also n-Tupel \(({a}_{1},\ldots, {a}_{n})\in {\mathbb{D}}\) mit T1(a1, …, an) = T2(a1, …, an). Diese n-Tupel a = (a1, …, an) heißen Lösungen und bilden die Lösungsmenge der Gleichung. \({\mathbb{D}}\) ist dabei höchstens gleich dem Schnitt der Definitionsbereiche der Terme T1, T2 (z. B. Teilmengen von ℝn oder ℂn), wird aber oft durch zusätzliche Bedingungen eingeschränkt.

Das Bestimmen von \({\mathbb{L}}\) geschieht durch Lösen der Gleichung, wobei die Gleichung i.d.R. in eine äquivalente „einfachere“ Gleichung umgeformt wird. Zwei Gleichungen heißen äquivalent genau dann, wenn sie die gleichen Definitionsbereiche und Lösungsmengen haben. Bei \({\mathbb{L}}\ne \emptyset\) heißt die Gleichung lösbar oder erfüllbar (z. B. x2 = 1 mit Definitionsbereich \({\mathbb{Z}},{\mathbb{L}}\space =\space \{-1,\space 1\}\), sonst unlösbar oder unerfüllbar (z.B. x = x + 1 mit Definitionsbereich ℝ).

Falls T1(a) = T2(a) gilt für alle \(a\space \in \space {\mathbb{D}}\), heißt die Gleichung T1 = T2 allgemeingültig (z. B. x1 + x2 = x2 + x1 mit Definitionsbereich ℝ2), und die Gleichung wird auch als Formel oder Identität bezeichnet.

Häufig ist nur eine der Variablen, z. B. x1, eine ‚echte‘ Variable, und x2, …, xn sind als Parameter zu betrachten, d. h. für jede gemäß Definitionsbereich zulässige Wahl von a2, …, an ist ein (oder mehrere) a1 gesucht mit \(({a}_{1},\ldots, {a}_{n})\in {\mathbb{L}}\). In der Gleichung \({p}_{0}{e}^{\lambda t}={p}_{1}\) für exponentielles Wachstum könnten z. B. p0, p1, λ Parameter sein und t die Variable.

Die Lösbarkeit einer Gleichung hängt i.d.R. auch von der Wahl des Definitionsbereichs ab. So sind die Gleichung 2x = 1 mit dem Definitionsbereich ℤ und die Gleichung x2 = −1 mit dem Definitionsbereich ℝ unlösbar, sie sind aber lösbar mit den Definitionsbereichen ℚ bzw. ℂ, und dann gilt \({\mathbb{L}}\space =\space \{\frac{1}{2}\}\) bzw. \({\mathbb{L}}\space =\{-i,\space i\}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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