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Lexikon der Mathematik: Gleichungslöser, polynomialer

Methode oder Software, die Nullstellen von 0-dimensionalen polynomialen Gleichungsystemen in mehreren Veränderlichen berechnet.

Dabei gibt es in der Regel eine symbolische Vorbereitung, d. h. man bringt unter Benutzung von Gröbnerbasisberechnungen das Gleichungssystem auf Dreiecksgestalt, genauer man berechnet die zugehörigen trianguläre Menge. Dann wendet man ein numerisches Lösungsverfahren an, beispielsweise ein Newtonverfahren, wenn man an einer bestimmten Lösung interessiert ist.

Sei zum Beispiel das Gleichungsystem \begin{eqnarray}\begin{array}{rrr}{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-1 & = & 0\\ {x}^{2}+{z}^{2}-y & = & 0\\ x-z & = & 0\end{array}\end{eqnarray} gegeben. Dann würde man als trianguläre Menge das dazu äquivalente Gleichungssystem \begin{eqnarray}\begin{array}{rrr}x-z & = & 0\\ y-2{z}^{2} & = & 0\\ {z}^{4}+\frac{1}{2}{z}^{2}-\frac{1}{4} & = & 0\end{array}\end{eqnarray} erhalten, das sich jetzt leicht lösen läßt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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