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Lexikon der Mathematik: gliedweise Differentiation einer Potenzreihe

die Beziehung\begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n\,{a}_{n}(x-{x}_{0})}^{n-1}\end{eqnarray} für eine durch eine Potenzreihe\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n}\end{eqnarray} definierte Abbildung f.

Genauer gilt: Es seien (an) eine Folge reeller Zahlen und x0 ∈ ℝ. Für die o. a. Potenzreihe (um den Entwicklungspunkt x0 mit Koeffizienten (an)) gilt:

Es existiert ein 0 ≤ R ≤ ∞ (Konvergenz-radius) mit \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n}\left\{\begin{array}{l}absolut\,konvergent,|x-{x}_{0}|\gt R,\\ divergent,\quad \quad \quad \quad |x-{x}_{0}|\gt R.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Für einen Aufbau der Analysis, bei dem die Integration erst nach der Differentiation behandelt wird und wichtige Funktionen, etwa Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen, über Potenzreihen eingeführt werden, ist folgender Satz sehr wichtig:

Die Potenzreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }n\,{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n-1}\)hat ebenfalls den Konvergenzradius R. Definiert man f(x) := \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n}\) für x ∈ ℝ mit | xx0| < R, dann gilt: f ist differenzierbar, und die Ableitung wird durch (1) gegeben.

Summation und Differentiation sind also hier vertauschbar. Folgerungen aus dem Satz sind: f ist beliebig oft differenzierbar mit\begin{eqnarray}{a}_{n}=\frac{{f}^{(n)}({x}_{0})}{n!}(n\in {{\mathbb{N}}}_{0}).\end{eqnarray} Jede Potenzreihe ist also in ihrem Konvergenzintervall die Taylor-Reihe der durch sie dargestellten Funktion. Um einen festen Entwicklungspunkt gibt es somit höchstens eine Potenzreihendarstellung einer gegebenen Funktion. Das zeigt den Identitätssatz für Potenzreihen.

Der Satz gilt entsprechend für komplexe Potenzreihen (und komplexe Differenzierbarkeit).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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