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Lexikon der Mathematik: Gliwenko, Satz von

Gliwenko-Cantelli, Satz von, Hauptsatz der mathematischen Statistik, formuliert die Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion gegen die theoretische Verteilungsfunktion bei wachsendem Stichprobenumfang. Der Satz lautet:

Ist FX(x) die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X und ist Fn(x) die empirische Verteilungsfunktion der mathematischen Stichprobe (X1, …, Xn) vom Umfang n von X, dann konvergiert Fn(x) für n → ∞ mit Wahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig gegen die Verteilungsfunktion FX(x). Es gilt also\begin{eqnarray}P(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\mathop{\sup }\limits_{x\in {R}^{1}}|({F}_{n}(x)-F(x))|=0)=1.\end{eqnarray}

Dieser Satz liefert die Grundlage zur Prüfung von Hypothesen über den Typ unbekannter Verteilungsfunktionen. Die Größe\begin{eqnarray}{T}_{n}=\sqrt{n}\mathop{\sup }\limits_{x\in {R}^{1}}|({F}_{n}(x)-F(x))|\end{eqnarray} wird als Teststatistik im Kolmogorow-Test zur Verteilungsprüfung verwendet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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