Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: globale Haarsche Bedingung

eine Übetragung des Konzepts der Haarschen Bedingung (Haarscher Raum) auf die kompliziertere Situation der nichtlinearen Approximation.

Es sei W = {Fα} eine (i. allg. nicht linear) von einem Parametervektor\begin{eqnarray}\alpha =({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{N})\in A\subseteq {{\mathbb{R}}}^{N}\end{eqnarray} abhängende Teilmenge von C[a, b]. Die Funktionen von W seien stetig nach allen Parameterwerten partiell differenzierbar, und es bezeichne\begin{eqnarray}T(\alpha )=\mathrm{Span}\left\{\frac{\partial {F}_{\alpha }}{\partial {\alpha }_{1}},\ldots, \frac{\partial {F}_{\alpha }}{\partial {\alpha }_{N}}\right\}\end{eqnarray} den Tangentialraum von W in α.

Dann erfüllt W die globale Haarsche Bedingung, wenn für jedes Paar (α, β) ∈ A×A gilt: Die Funktion FαFβ hat höchstens (dim(T(α)) − 1) Nullstellen (oder ist identisch gleich Null).

Gemeinsam mit der lokalen Haarschen Bedingung ermöglicht die globale Haarsche Bedingung eine Charakterisierung der besten Approximation auch im nichtlinearen Fall durch eine dem Alternantensatz ähnliche Aussage.

Im linearen Fall (d. h., {Fα} ist ein linearer Raum) sind globale, lokale und gewöhnliche Haarsche Bedingung identisch.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos