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Lexikon der Mathematik: globale Riemannsche Geometrie

Zweig der Riemannschen Geometrie, der die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten M studiert.

Lokale Eigenschaften werden zumeist aus der Riemannschen Krümmung abgeleitet, während das globaler Extremalpunkt Attribut ‘global’ sich auf Eigenschaften bezieht, die M als metrischer oder als topologischer Raum besitzt. Um von lokalen Eigenschaften auf topologische schließen zu können, ist in der Regel vorauszusetzen, daß M eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aus dem Krümmungstensor abgeleitete Größen sind neben anderen die skalare Krümmung Ksk, die Schnittkrümmung Kσ, der Ricci-Tensor S und die Ricci-Krümmung Ric. Es wird z. B. gefragt, welche topologischen Eigenschaften die Mannigfaltigkeit M haben muß, damit auf ihr Riemannsche Metriken mit vorgegebenen Eigenschaften, wie etwa konstantes Vorzeichen von Ric, Ksk oder Kσ existieren.

So schließt z. B. das sog. Sphären-Theorem aus der Voraussetzung, daß M vollständig und die Schnittkrümmung Kσ zwischen zwei festen positiven Schranken eingeschlossen ist, auf die topologische Gestalt von M. Ist n die Dimension von M, so besagt der Satz von Cartan-Hadamard, daß für negative Schnittkrümmung Kσ ein Homöomorphismus zwischen M und dem Raum ℝn existiert. Man kann diesen Homöomorphismus explizit angeben, indem man ℝn mit dem Tangentialraum Tx(M) eines Punktes xM identifiziert und die Abbildung expx : Tx(M) → M betrachtet, die jedem Tangentialvektor t ∈ Tx(M) den Punkt γt(1) zuordnet, wobei γt die eindeutig bestimmte Geodätische mit dem Anfangspunkt x und der Anfangsrichtung \({\mathfrak{t}}\) ist. Diese wird Exponentialabbildung von M im Punkt x genannt. Die Vollständigkeit von M ist gleichwertig dazu, daß \({\exp }_{\text{x}}({\mathfrak{t}})={\gamma }_{{\mathfrak{t}}}(1)\) für alle xM und alle \({\mathfrak{t}}\in {T}_{x}(M)\) definiert ist.

Eine nicht kompakte vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit wird offen genannt. Eine Untermannigfaltigkeit NM heißt total geodätisch, wenn jede Geodätische, die in einem Punkt von x in zu N tangentieller Richtung startet, d. h., für die γ (t) mit γ (0) = xN und \({\gamma }^{^{\prime} }(0)={\mathfrak{t}}\in {T}_{x}(N)\) gilt, ganz in N verläuft.

Ist M offen und Kσ ≤ 0, so gibt es eine total geodätische, absolut konvexe Untermannigfaltigkeit NM derart, daß M zum Normalenbündel ν(N) diffeomorph ist. Der Normalraum νx(N) besteht aus allen Tangentialvektoren von Tx(M), die zu dem Unterraum Tx(N) → Tx(M) senkrecht sind, und das Normalenbündel ν(N) ist die Vereinigung\begin{eqnarray}\mathop{\cup }\limits_{x\in N}{v}_{x}(N)\end{eqnarray} aller Normalräume. Es ist eine Untermannigfaltigkeit des Tangentialbündels T(M).

Zur globalen Riemannsche Geometrie ist auch der Zerlegungssatz von de Rham zu rechnen (Holonomiegruppe).

Viele globale Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten M werden durch Vergleichssätze ausgedrückt. Diese machen vergleichende Aussagen über Strukturen auf M, z. B. geodätische Dreiecke, mit entsprechenden Strukturen auf einem Standardraum, z. B. einer Mannigfaltigkeit konstanter Schnittkrümmung.

Ein geodätisches Dreieck Δ in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M besteht aus drei Punkten und drei sie verbindenden kürzesten Verbindungskurven, den Seiten von Δ. Dann sind die Seitenlängen als die drei Abstände der Punkte definiert und die Winkel von Δ in den drei Eckpunkten als Winkel zwischen den jeweiligen Verbindungskurven. Einen Vergleich der Winkel in geodätischen Dreiecken von M liefert der Vergleichssatz von Toponogow:

Es sei c ∈ ℝ und es gelte Kσc für die Schnittkrümmung aller zweidimensionalen Unterräume σT(M). Hcsei der einfach zusammenhängende zweidimensionale Raum konstanter Krümmung c. Sind α1, α2, α3die Winkel eines geodätischen Dreiecks Δ in M, β1, β2, β3die Winkel eines Dreiecks in Hc, dessen Seiten die gleiche Länge wie die entsprechenden Seiten von Δ haben, so gilt αiβifür i = 1, 2, 3.

Gilt Kσc und lassen sich die Punkte auf den Seiten von Δ nur durch eine Kürzeste verbinden, so gilt αiβifür i = 1, 2, 3.

[1] Gromoll, D.; Klingenberg, W.; Meyer, W.: Riemannsche Geometrie im Großen. Springer-Verlag, Berlin 1968.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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