Zweig der Riemannschen Geometrie, der die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten M studiert.

Lokale Eigenschaften werden zumeist aus der Riemannschen Krümmung abgeleitet, während das globaler Extremalpunkt Attribut ‘global’ sich auf Eigenschaften bezieht, die M als metrischer oder als topologischer Raum besitzt. Um von lokalen Eigenschaften auf topologische schließen zu können, ist in der Regel vorauszusetzen, daß M eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aus dem Krümmungstensor abgeleitete Größen sind neben anderen die skalare Krümmung K_sk, die Schnittkrümmung K_σ, der Ricci-Tensor S und die Ricci-Krümmung Ric. Es wird z. B. gefragt, welche topologischen Eigenschaften die Mannigfaltigkeit M haben muß, damit auf ihr Riemannsche Metriken mit vorgegebenen Eigenschaften, wie etwa konstantes Vorzeichen von Ric, K_sk oder K_σ existieren.

So schließt z. B. das sog. Sphären-Theorem aus der Voraussetzung, daß M vollständig und die Schnittkrümmung K_σ zwischen zwei festen positiven Schranken eingeschlossen ist, auf die topologische Gestalt von M. Ist n die Dimension von M, so besagt der Satz von Cartan-Hadamard, daß für negative Schnittkrümmung K_σ ein Homöomorphismus zwischen M und dem Raum ℝⁿ existiert. Man kann diesen Homöomorphismus explizit angeben, indem man ℝⁿ mit dem Tangentialraum T_x(M) eines Punktes x ∈ M identifiziert und die Abbildung exp_x : T_x(M) → M betrachtet, die jedem Tangentialvektor t ∈ T_x(M) den Punkt γ_t(1) zuordnet, wobei γ_t die eindeutig bestimmte Geodätische mit dem Anfangspunkt x und der Anfangsrichtung \({\mathfrak{t}}\) ist. Diese wird Exponentialabbildung von M im Punkt x genannt. Die Vollständigkeit von M ist gleichwertig dazu, daß \({\exp }_{\text{x}}({\mathfrak{t}})={\gamma }_{{\mathfrak{t}}}(1)\) für alle x ∈ M und alle \({\mathfrak{t}}\in {T}_{x}(M)\) definiert ist.

Eine nicht kompakte vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit wird offen genannt. Eine Untermannigfaltigkeit N ⊂ M heißt total geodätisch, wenn jede Geodätische, die in einem Punkt von x in zu N tangentieller Richtung startet, d. h., für die γ (t) mit γ (0) = x ∈ N und \({\gamma }^{^{\prime} }(0)={\mathfrak{t}}\in {T}_{x}(N)\) gilt, ganz in N verläuft.

Ist M offen und K_σ ≤ 0, so gibt es eine total geodätische, absolut konvexe Untermannigfaltigkeit N ⊂ M derart, daß M zum Normalenbündel ν(N) diffeomorph ist. Der Normalraum ν_x(N) besteht aus allen Tangentialvektoren von T_x(M), die zu dem Unterraum T_x(N) → T_x(M) senkrecht sind, und das Normalenbündel ν(N) ist die Vereinigung\begin{eqnarray}\mathop{\cup }\limits_{x\in N}{v}_{x}(N)\end{eqnarray} aller Normalräume. Es ist eine Untermannigfaltigkeit des Tangentialbündels T(M).

Zur globalen Riemannsche Geometrie ist auch der Zerlegungssatz von de Rham zu rechnen (Holonomiegruppe).

Viele globale Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten M werden durch Vergleichssätze ausgedrückt. Diese machen vergleichende Aussagen über Strukturen auf M, z. B. geodätische Dreiecke, mit entsprechenden Strukturen auf einem Standardraum, z. B. einer Mannigfaltigkeit konstanter Schnittkrümmung.

Ein geodätisches Dreieck Δ in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M besteht aus drei Punkten und drei sie verbindenden kürzesten Verbindungskurven, den Seiten von Δ. Dann sind die Seitenlängen als die drei Abstände der Punkte definiert und die Winkel von Δ in den drei Eckpunkten als Winkel zwischen den jeweiligen Verbindungskurven. Einen Vergleich der Winkel in geodätischen Dreiecken von M liefert der Vergleichssatz von Toponogow:

Es sei c ∈ ℝ und es gelte K_σ ≥ c für die Schnittkrümmung aller zweidimensionalen Unterräume σ ⊂ T(M). H_csei der einfach zusammenhängende zweidimensionale Raum konstanter Krümmung c. Sind α₁, α₂, α₃die Winkel eines geodätischen Dreiecks Δ in M, β₁, β₂, β₃die Winkel eines Dreiecks in H_c, dessen Seiten die gleiche Länge wie die entsprechenden Seiten von Δ haben, so gilt α_i ≥ β_ifür i = 1, 2, 3.

Gilt K_σ ≤ c und lassen sich die Punkte auf den Seiten von Δ nur durch eine Kürzeste verbinden, so gilt α_i ≤ β_ifür i = 1, 2, 3.

[1] Gromoll, D.; Klingenberg, W.; Meyer, W.: Riemannsche Geometrie im Großen. Springer-Verlag, Berlin 1968.