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Lexikon der Mathematik: Gluskin-Räume

von Gluskin mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Techniken konstruierte n-dimensionale reelle Banachräume mit asymptotisch maximalem Banach-Mazur-Abstand.

Seien X und Y n-dimensionale reelle Banachräume. Dann gilt für ihren Banach-Mazur-Abstand d(X, Y) ≤ n. Man betrachte nun unabhängige Zufallsvektoren ξ1, …, ξ2n : Ω → ℝn, die gemäß dem normierten Oberflächenmaß auf der Sphäre Sn−1 verteilt sind. Für jedes ω ∈ Ω ist dann die konvexe Hülle von ±ξ1(ω), …, ±ξ2n(ω) sowie den Einheitsvektoren ±e1, …, ±en die Einheitskugel einer Norm auf ℝn; dieser n-dimensionale Banachraum werde mit X(ω) bezeichnet. Gluskin hat dann gezeigt:

Es existiert eine Konstante c > 0, so daß\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\xi \to \infty }{\mathbb{P}}\{({\omega }_{1},{\omega }_{2}):d(X({\omega }_{1}),X({\omega }_{2}))\lt cn\}=0.\end{eqnarray}

Folglich existieren n-dimensionale Banachräume Xn, Yn mit inf d(Xn, Yn)/n > 0.

Mit ähnlichen Techniken können diverse andere Probleme der lokalen Banachraumtheorie gelöst werden.

[1] Tomczak-Jaegermann, N.: Banach-Mazur-Distances and Finite-Dimensional Operator Ideals. Longman Harlow, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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