Lexikon der Mathematik: GMRES-Verfahren
iteratives Krylow-RaumVerfahren zur Lösung eines linearen Gleichungs-systems Ax = b, wobei A ε ℝ
Das GMRES-Verfahren ist eine Verallgemeinerung des konjugierten Gradientenverfahrens für Gleichungssysteme mit symmetrisch positiv definiten Koeffizientenmatrizen.
Es wird, ausgehend von einem (beliebigen) Start-vektor x(0), eine Folge von Näherungsvektoren x(
Die gesuchte orthogonale Basis berechnet z. B. das Arnoldi-Verfahren. Nach k Schritten des Arnoldi-Verfahrens hat man die Zerlegung
Im k-ten Schritt des GMRES-Verfahren minimiert man nun
Wähle x(0) ε ℝ
Das Abbruchkriterium hk+1,k = 0 folgt aus der Beobachtung
Pro Iterationsschritt sind nur eine Matrix-Vektor-Multiplikation Ap(
Bei der Berechnung der (k+1)-ten Iterierten wird Information aus allen k vorherigen Schritt benötigt. Der Rechen- und Speicheraufwand wächst also mit k an.
Theoretisch ist bei exakter Rechnung spätestens x(
Für das Konvergenzverhalten des Verfahrens, d. h. für eine Aussage, wie schnell die Iterierten x(
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