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Lexikon der Mathematik: Goldbach-Probleme

zahlentheoretische Problemklasse über die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summen von Primzahlen.

Goldbach schrieb am 7. Juni 1742 in einem Brief an Euler unter anderem folgendes: „Es scheinet wenigstens, dass jede Zahl, die größer ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey”. Euler schrieb am 30. Juni 1742 zurück: „Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.” Zur Bedeutung dieser Textstellen ist zunächst anzumerken, daß man damals die 1 zu den Primzahlen rechnete. Trotzdem ist die Behauptung von Goldbach streng genommen nicht ganz richtig, denn die Zahl 2 ist größer als 1 und sicher nicht als Summe von drei Primzahlen darstellbar. Heute bezeichnet man folgende, über die ursprüngliche Behauptung von Goldbach hinausgehende, Behauptungen als Goldbach-Probleme:

  1. Jede gerade Zahl ≥ 4 ist die Summe zweier Prim-zahlen.
  2. Jede ungerade Zahl ≥ 7 ist die Summe dreier Primzahlen.
Die erste Behauptung heißt auch binäres Problem, während man die zweite manchmal ternäres Problem nennt.

Bis heute ist noch niemandem gelungen, die von Euler als „ganz gewisses theorema” bezeichnete Aussage zu „demonstriren”. Gerade deswegen steht die Goldbachsche Behauptung in Zusammenhang mit zahlreichen interessanten mathematischen Untersuchungen; hier sind vor allem die Kreismethode von Hardy und Littlewood und die vielfach verfeinerten Siebmethoden zu nennen. Einen Höhepunkt der Kreismethode ist der folgende Satz zum ternären Problem, zu dem Winogradow 1937 einen Beweis publizierte:

Jedes hinreichend große ungerade natürliche N ist darstellbar als Summe dreier Primzahlen.

Mit Hilfe ausgefeilter Siebmethoden gelang es Chen 1966, zum binären Problem einen Satz zu beweisen:

Jedes hinreichend große gerade N läßt sich darstellen als\begin{eqnarray}N=p+{P}_{2},\end{eqnarray}wobei p eine Primzahl und P2entweder auch eine Primzahl oder das Produkt zweier Primzahlen ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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