Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Gorenstein-Ring

lokaler Noetherscher Ring A der Dimension n so, daß für den Restklassenkörper k gilt: \begin{eqnarray}{\text{Ext}}_{A}^{i}(k,A)=\left\{\begin{array}{c}0\,\,\text{falls}\,\,i\,\ne \,n,\\k\,\,\text{falls}\,\,i=n.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Wenn A ein sog. vollständiger Durchschnitt ist, d. h. Quotient eines regulären lokalen Ringes nach einem Ideal erzeugt durch eine reguläre Folge, ist A ein Gorenstein-Ring.

Ein Noetherscher Ring A heißt Gorenstein-Ring, wenn seine Lokalisierungen nach den Maximalidealen Gorensteinsch sind.

Etwas abstrakter kann man das auch so definieren: Ein Gorenstein-Ring ist ein lokaler Noetherschen Ring A mit zusätzlicher Eigenschaft: Wenn dim(A) = 0 ist, so nennt man A Gorensteinsch oder Gorenstein-Ring, wenn der Kofunktor \(M\mapsto \,M^* ={\text{Hom}}_{A}(M,A)\) exakt ist (für A-Moduln M). Dazu äquivalent ist die Aussage l(M) = l(M) für alle A-Moduln endlicher Länge.

Wenn die Eigenschaft „Gorensteinsch“ für lokale Ringe der Dimension < n schon definiert und dim(A) = n ist, so heißt A Gorensteinsch, wenn es ein \(\begin{eqnarray}f\in {{\mathfrak{m}}}_{A}\end{eqnarray}\) gibt, so daß \(A\mathop{\to }\limits^{f}\,A,\,\,\,a\,\mapsto \,fa\) injektiv (und somit dim(A/fA) = n − 1) und A/fa Goren-steinsch ist. In diesem Fall ist für jedes solche f der Ring A/fA Gorensteinsch.

A ist genau dann Gorensteinsch, wenn seine Komplettierung \(\hat{A}\) Gorensteinsch ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos