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Lexikon der Mathematik: Grad eines Vektorbündels

Verallgemeinerung des üblichen Gradbegriffs.

Es sei X ein projektives Schema über einem Körper k, dessen Komponenten alle die Dimension n haben, und \(\begin{eqnarray} {\mathcal L} \end{eqnarray}\) ein amples Geradenbündel auf X.

Dann ist für jedes Vektorbündel \({\mathcal E}\) auf X die Funktion \(\begin{eqnarray}v\mapsto \chi ( {\mathcal E} \otimes { {\mathcal L} }^{\otimes v})\end{eqnarray}\) ein Polynom vom Grad n in ν, und die Funktion \begin{eqnarray}v\mapsto \chi ( {\mathcal E} \otimes { {\mathcal L} }^{\otimes v})-\chi ({{\mathcal{O}}}^{rk( {\mathcal E} )}\otimes { {\mathcal L} }^{\otimes v})\end{eqnarray}

hat die Form \begin{eqnarray}\frac{d}{(n\,-\,1)!}\,{v}^{n-1}\,+\,(\text{Terme}\,\text{vom}\,\text{Grad}\,\lt \,n\,-\,1)\end{eqnarray}

mit d ∈ ℤ. Diese Zahl d heißt Grad des Vektorbündels (bzgl. \({\mathcal{L}}\)), bezeichnet mit deg \((\mathcal E)={\deg }_{ {\mathcal L} }(\mathcal E).\) Die Funktion \(\mathcal E \,\mapsto \,\deg (\mathcal E)\) hat folgende Eigenschaften:

  1. (i) Sie ist additiv, d. h., ist \(\begin{eqnarray}0\to { {\mathcal E} }{^{\prime} }\to {\mathcal E} \to { {\mathcal E} }^{^{\prime\prime} }\to 0\end{eqnarray}\) eine exakte Folge von Vektorbündeln, so ist \(\begin{eqnarray}\deg ( {\mathcal E} )=\deg ({ {\mathcal E} }{^{\prime} })+\deg ({ {\mathcal E} }^{^{\prime\prime} })\end{eqnarray}\).
  2. (ii) \(\begin{eqnarray}\deg ( {\mathcal E} )=\deg ({\wedge }^{rg( {\mathcal E} )} {\mathcal E} )\end{eqnarray}\).
  3. (iii) Für Geradenbündel der Form \(\begin{eqnarray}{\mathcal{N}}={{\mathcal{O}}}_{X}({D}_{1})\otimes {{\mathcal{O}}}_{X}(-{D}_{2})\end{eqnarray}\) (D1, D2 effektive Cartier-Divisoren) ist \begin{eqnarray}\deg ({\mathcal{N}})=\deg {z}_{n-1}({D}_{1})\,-\,\deg {z}_{n-1}({D}_{2}).\end{eqnarray} Hierbei bezieht sich deg stets auf das ample Geradenbündel \({\mathcal{L}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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