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Lexikon der Mathematik: Gradient

der Ausdruck \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial {x}_{1}}(a)\\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial {x}_{n}}(a)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{D}_{1}f(a)\\ \vdots \\ {D}_{n}f(a)\end{array}\right)=:\,\,(\text{grad}f)(a)\end{eqnarray} für eine in a nach allen xν partiell differenzierbare Funktion \(f\,:\,{\mathfrak{D}}\,\to \,{\mathbb{R}}\,\,\text{mit}\,{\mathfrak{D}}\,\subset \,{{\mathbb{R}}}^{n}\) (und n ∈ N), a ∈ \({\mathfrak{D}}\).

Ist \({\mathfrak{D}}\) offen und existiert (grad f)(a) für alle a ∈ \({\mathfrak{D}}\), so wird die dadurch gegebene Funktion grad f als Gradientenfeld bezeichnet.

Mit dem Nablavektor \begin{eqnarray}\nabla \,\,:=\,\left(\begin{array}{c}{D}_{1}\\ \vdots \\ {D}_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray} kann grad f auch in der formalen Weise ∇f notiert werden. Die partiellen Ableitungen \(\frac{\partial f}{\partial {x}_{v}}\,=\,{D}_{v}f\) werden dabei gebildet wie bei Funktionen einer reellen Variablen: Alle Variablen bis auf die ν-te werden „festgehalten“ (d. h. als Konstante betrachtet), dies für ν = 1,…,n.

Es ist einfach zu sehen, daß alle partiellen Ableitungen – und damit der Gradient – einer differenzierbaren Funktion existieren. Der Gradient ist dann gerade der transponierte Vektor zur Ableitung.

Umgekehrt zeigt man, daß f an der Stelle a differenzierbar und die Ableitung gerade der Zeilen-Vektor der partiellen Ableitungen ist, falls diese in einer Umgebung von a existieren und an der Stelle α stetig sind.

Ist f an der Stelle x differenzierbar, so gilt für die Richtungsableitung \(\frac{\partial f}{\partial v}(x)\) (in Richtung \({\mathscr{v}}\) für ein v ∈ ℝn mit ∥v2 = 1 ) \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial v}(x)={f}{^{\prime} }(x)v=\langle (\text{grad}f)(x),\,v\rangle,\end{eqnarray}

wobei ⟨, ⟩ das kanonische Skalarprodukt auf dem ℝn bezeichnet. Damit hat man \begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial v}(x)={\Vert (\text{grad}f)(x)\Vert }_{2}\,\cos (\varphi )\end{eqnarray}

mit dem Winkel ϕ ∈ [0, π] zwischen (grad f)(x) und v. Dieser Ausdruck ist im Fall (grad f)(x) ≠ 0 maximal genau für cos(ϕ) = 1, d. h. für \begin{eqnarray}v=\frac{(\text{grad}f)(x)}{{\Vert (\text{grad}f)(x)\Vert }_{2}}.\end{eqnarray}

Der Gradient zeigt also in die Richtung des stärksten Anstiegs, und ∥(grad f)(x)∥2 ist der zugehörige (maximale) Wert.

Eine sehr anschauliche Bedeutung hat der Gradient im Fall von (zweidimensionalen) Landkarten, in denen Höhenangaben eingetragen sind. Die Höhenfunktion ordne jedem Punkt auf der Land-karte (gekennzeichnet durch eine x- und eine y-Komponente) eine Höhe zu. Der Gradient dieser Höhenfunktion gibt für jeden Punkt der Landkarte die Richtung, in welcher der stärkste Anstieg liegt, und die Stärke dieses Anstiegs an. Sind Höhenlinien (das sind Linien, welche Orte gleicher Höhe auf der Karte miteinander verbinden) eingezeichnet, so steht der Gradient senkrecht auf diesen Höhenlinien. Die Abbildung zeigt die Höhenlinien von \begin{eqnarray}f(x,\,y)\,\,:=\sin (x\,\cdot \,y)\,.\end{eqnarray}

Allgemeiner zeigt man leicht: Der Gradient steht auf den Niveaumengen von f senkrecht.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Gradient
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Höhenlinien

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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