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Lexikon der Mathematik: graduierte Algebra

eine Algebra A über einem \({\mathbb{K}}\)örper \({\mathbb{K}}\) mit einer Zerlegung \begin{eqnarray}A=\mathop{\displaystyle \oplus }\limits_{n\in {\mathbb{Z}}}\,{A}_{n}\end{eqnarray} als Vektorraum in Untervektorräume An derart, daß gilt \begin{eqnarray}{A}_{n}\,\cdot \,{A}_{m}\,\subseteq \,{A}_{n+m}\,.\end{eqnarray}

Die Elemente in An heißen homogen vom Grad n. Der Raum An heißt homogener Unterraum.

Viele Algebren besitzen eine kanonische Graduierung. Die Polynomalgebra in mehreren Variablen ist eine graduierte Algebra, wenn man als homogenene Unterräume vom Grad n jeweils den von den Monomen vom Grad n aufgespannten Unterraum nimmt. An diesem Beispiel ist die gesamte Algebra unendlichdimensional, aber die homogenen Unterräume sind endlichdimensional.

Statt des Indexbereichs ℤ können auch andere kommutative Halbgruppen als Indexbereiche auftreten. Desweiteren kann obige Definition auch auf Algebren über Ringen angewendet werden, falls man Vektorräume durch Moduln ersetzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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