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Lexikon der Mathematik: Gram-Charlier-Approximation

bezeichnet in der Versicherungsmathematik ein Approximationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Gesamtschadenverteilungen durch Reihenentwick-lung nach Hermite-Polynomen.

Sind dazu F die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen S, µ := E[S] der Erwartungswert, σ2 = Var(S) die Varianz, \({\mu }_{3}=E[{(\frac{S\,-\,\mu }{\sigma })}^{3}]\) die Schiefe von S und \({\mu }_{4}=E[{(\frac{S\,-\,\mu }{\sigma })}^{4}]\), so heißt \begin{eqnarray}\phi \left(\frac{x\,-\,\mu }{\sigma }\right)\,-\,\frac{{\mu }_{3}}{6}{\phi }^{(3)}\left(\frac{x\,-\,\mu }{\sigma }\right)\,+\,\frac{{\mu }_{4}\,-\,3}{24}{\phi }^{(4)}\left(\frac{x\,-\,\mu }{\sigma }\right)\,\end{eqnarray} die Gram-Charlier Approximation von F; hierbei ist φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung.

Der in (1) gegebene Ausdruck ist die nach vier Termen abgebrochene Gram-Charlier-Reihe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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