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Lexikon der Mathematik: Gramsche Matrix

quadratische Matrix, deren Einträge die paarweisen Skalarprodukte einer Menge von Vektoren sind.

Sind v1,…,vm Elemente eines Vektorraumes V, auf dem das Skalarprodukt ⟨ ·, · ⟩ definiert ist, so ist die zugehörige Gramsche Matrix G definiert als \begin{eqnarray}G={((\langle {v}_{i},\,{v}_{j}\rangle ))}_{i,\,j=1,\,m}\,.\end{eqnarray}

Sie ist offenbar symmetrisch.

Sind die Vektoren {v1,…,vm} linear unabhängig, so ist G eine positiv definite Matrix, also insbesondere regulär.

Ist (v1,…,vn) eine Basis von V, so gilt mit der Gramschen Matrix G = (⟨vi, vj⟩) für alle Koordinatenvektoren \(u=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\xi }_{i}{v}_{i}\) und \(w=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\eta }_{i}{v}_{i}\,\in V:\)\begin{eqnarray}\langle u,\,w\rangle =\displaystyle \sum _{i,k=1}^{n}\bar{{\xi }_{i}}{\eta }_{k}\langle {v}_{i},\,{v}_{k}\rangle =(\bar{{\xi }_{1}},\ldots,\bar{{\xi }_{n}})G\left(\begin{array}{c}{\eta }_{1}\\ \vdots \\ {\eta }_{n}\end{array}\right).\end{eqnarray}

Ist auf dem \({\mathbb{K}}\)n (\({\mathbb{K}}\) gleich ℝ oder ℂ) das kanonische Skalarprodukt gegeben, so ist die Gramsche Matrix G bezüglich gegebener Spaltenvektoren a1,…,am ∈ \({\mathbb{K}}\)n gegeben durch \begin{eqnarray}G={\bar{A}}^{t}\,A,\end{eqnarray} wobei A die (n × m)-Matrix (a1,…,am) bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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