Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit \begin{eqnarray}{G}_{k}(n):=GL(n,{\mathbb{C}})/GL(k,n-k;{\mathbb{C}})\end{eqnarray} kann angesehen werden als der Raum der k-dimensionalen linearen Unterräume des ℂⁿ (und ist daher eine Verallgemeinerung des ℙ_n−1 = G₁ (n)): Für ℂ^k := ℂ^k × 0 ↪ ℂⁿ gilt \begin{eqnarray}GL(k,\,n-k;{\mathbb{C}})=\{A\in GL(n,\,{\mathbb{C}});A({{\mathbb{C}}}^{k})={{\mathbb{C}}}^{k}\}.\end{eqnarray}

Für jeden k-dimensionalen linearen Unterraum W von ℂⁿ existiert ein A∈GL(n, ℂ) so, daß A(W)=ℂ^k. Wenn A₁ eine andere solche Matrix ist, dann gilt A₁A⁻¹(ℂ^k) = ℂ^k; d. h. A₁A⁻¹ ∈ GL(k, n − k; ℂ). Daher kann man die Klasse von A in G_k(n) mit W identifizieren.

G_k (n) ist kompakt: Die unitäre Gruppe U (n) ⊂ GL (n, ℂ) ist bestimmt durch die Gleichung \(A\cdot {\bar{A}}^{t}={I}_{n}\), wobei \(\bar{A}\) die konjugierte Matrix von A bezeichne.

Die Spalten von A sind alle durch 1 beschränkt, also ist U (n) kompakt. Da U (n) transitiv auf der Menge der k-dimensionalen linearen Unterräume des ℂⁿ operiert (Existenz von Orthonormalbasen), ist die Komposition U (n) ⊂ GL (n, ℂ) ↠ G_k (n) surjektiv, und es folgt, daß G_k (n) kompakt ist.

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Pure & Applied Mathematics John Wiley & Sons New York/Toronto, 1978.
[2] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin New York, 1983.