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Lexikon der Mathematik: Graßmann-Mannigfaltigkeit

Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit \begin{eqnarray}{G}_{k}(n):=GL(n,{\mathbb{C}})/GL(k,n-k;{\mathbb{C}})\end{eqnarray} kann angesehen werden als der Raum der k-dimensionalen linearen Unterräume des ℂn (und ist daher eine Verallgemeinerung des ℙn−1 = G1 (n)): Für ℂk := ℂk × 0 ↪ ℂn gilt \begin{eqnarray}GL(k,\,n-k;{\mathbb{C}})=\{A\in GL(n,\,{\mathbb{C}});A({{\mathbb{C}}}^{k})={{\mathbb{C}}}^{k}\}.\end{eqnarray}

Für jeden k-dimensionalen linearen Unterraum W von ℂn existiert ein AGL(n, ℂ) so, daß A(W)=ℂk. Wenn A1 eine andere solche Matrix ist, dann gilt A1A−1(ℂk) = ℂk; d. h. A1A−1GL(k, nk; ℂ). Daher kann man die Klasse von A in Gk(n) mit W identifizieren.

Gk (n) ist kompakt: Die unitäre Gruppe U (n) ⊂ GL (n, ℂ) ist bestimmt durch die Gleichung \(A\cdot {\bar{A}}^{t}={I}_{n}\), wobei \(\bar{A}\) die konjugierte Matrix von A bezeichne.

Die Spalten von A sind alle durch 1 beschränkt, also ist U (n) kompakt. Da U (n) transitiv auf der Menge der k-dimensionalen linearen Unterräume des ℂn operiert (Existenz von Orthonormalbasen), ist die Komposition U (n) ⊂ GL (n, ℂ) ↠ Gk (n) surjektiv, und es folgt, daß Gk (n) kompakt ist.

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Pure & Applied Mathematics John Wiley & Sons New York/Toronto, 1978.
[2] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin New York, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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