Umkehrabbildung G des Differentialoperators L eines eindeutig lösbaren Randwertproblemes.

Für das halbhomogene Randwertproblem Ly = f, Rfy = 0 existieren Lösungen y ∈ C¹ genau dann, wenn det R(Y) ≠ 0 gilt, wobei Y ein Fundamentalsystem ist. Also ist L eine bijektive Abbildung und es existiert G = L⁻¹.

Die Lösung der halbhomogenen Aufgabe ist y = Gf. Für die Integraldarstellung des Operators gilt \begin{eqnarray}y(x)=(Gf)\,(x)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\Gamma (x,\xi )f(\xi )d\xi.\end{eqnarray}

Hierbei ist Γ die zugehörige Greensche Funktion bzw. Greensche Matrix.