Lexikon der Mathematik: Greensche Integralformeln
Greensche Formeln, wichtige Formeln der mehrdimensionalen Analysis, die sich auf den Integralsatz von Gauß zurückführen lassen. Sie lauten
Hierbei seien n ∈ ℕ, \({\mathfrak{G}}\) ein Gauß-Bereich im ℝn, also eine Teilmenge des ℝn, für die die Integral-formel von Gauß für alle auf \(\bar{{\mathfrak{G}}}\) definierten stetig differenzierbaren (Vektorfelder) f gilt, u und v auf \(\bar{{\mathfrak{G}}}\) zweimal stetig differenzierbar und n der nach,außen‘ gerichtete Normaleneinheitsvektor (steht senkrecht auf dem entsprechenden,Flächenelement‘). Die Forderungen an u und v lassen sich dabei noch etwas abschwächen.
Das Skalarprodukt \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}\cdot \nabla v\end{eqnarray}\) · ∇v beschreibt die Richtungsableitung von v in Richtung von \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}\end{eqnarray}\) . Deshalb notiert man oft – wie oben – auch \(\frac{\partial \upsilon }{\partial{\mathfrak{n}}}\) und ähnlich.
Die ersten beiden Greenschen Integralformeln ergeben sich für f := u∇v bzw. f := u∇v − v∇u leicht aus dem Integralsatz von Gauß.
Für den Spezialfall n = 3 seien die beiden Formeln noch in der folgenden – manchmal etwas suggestiveren Weise – notiert:
Gelegentlich wird noch der Spezialfall u = v der erste Greensche Formel
Die Greenschen Integralformeln können als Übertragung der Formel der partiellen Integration auf den mehrdimensionalen Fall angesehen werden.
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