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Lexikon der Mathematik: Greensche Integralformeln

Greensche Formeln, wichtige Formeln der mehrdimensionalen Analysis, die sich auf den Integralsatz von Gauß zurückführen lassen. Sie lauten \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}\left[(\Delta u)\,\cdot \,(\Delta \upsilon )\,+\,u\Delta \upsilon \right]d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}(u \Delta \upsilon )\,\cdot \,{\mathfrak{n}}\,do\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}u\frac{\partial \upsilon }{\partial{\mathfrak{n}}}\,do\end{eqnarray} (erste Greensche Formel), und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}(u\Delta \upsilon \,-\,\upsilon \Delta u)d{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {\mathfrak{G}}}\left[u\frac{\partial \upsilon }{\partial n}\,-\,\upsilon \frac{\partial u}{\partial n}\right]\,do\end{eqnarray} (zweite Greensche Formel).

Hierbei seien n ∈ ℕ, \({\mathfrak{G}}\) ein Gauß-Bereich im ℝn, also eine Teilmenge des ℝn, für die die Integral-formel von Gauß für alle auf \(\bar{{\mathfrak{G}}}\) definierten stetig differenzierbaren (Vektorfelder) f gilt, u und v auf \(\bar{{\mathfrak{G}}}\) zweimal stetig differenzierbar und n der nach,außen‘ gerichtete Normaleneinheitsvektor (steht senkrecht auf dem entsprechenden,Flächenelement‘). Die Forderungen an u und v lassen sich dabei noch etwas abschwächen.

Das Skalarprodukt \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}\cdot \nabla v\end{eqnarray}\) · ∇v beschreibt die Richtungsableitung von v in Richtung von \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}\end{eqnarray}\) . Deshalb notiert man oft – wie oben – auch \(\frac{\partial \upsilon }{\partial{\mathfrak{n}}}\) und ähnlich.

Die ersten beiden Greenschen Integralformeln ergeben sich für f := uv bzw. f := uvvu leicht aus dem Integralsatz von Gauß.

Für den Spezialfall n = 3 seien die beiden Formeln noch in der folgenden – manchmal etwas suggestiveren Weise – notiert: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\iiint }\limits_{{\mathfrak{G}}}[(\nabla u)\,\cdot \,(\nabla \upsilon )\,+\,u\Delta \upsilon ]\,dV=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}(u\nabla \upsilon )\,\cdot \,{\mathfrak{n}}\text{ds}\end{eqnarray}(erste Greensche Formel), \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\iiint }\limits_{{\mathfrak{F}}}(u\Delta \upsilon \,-\,\upsilon \Delta u)\,dV=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{F}}}\left[u\frac{\partial \upsilon }{\partial n}\,-\,\upsilon \,\frac{\partial \upsilon }{\partial n}\right]\,ds\end{eqnarray} (zweite Greensche Formel).

Gelegentlich wird noch der Spezialfall u = v der erste Greensche Formel \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{G}}}[{\Vert (\nabla u)\Vert }_{2}^{2}\,+\,u\Delta u]\,d\,{\mathfrak{x}}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{ {\partial }{\mathfrak{G}}}u\,\frac{\partial u}{\partial{\mathfrak{n}}}\,do\end{eqnarray} als dritte Greensche Formel bezeichnet.

Die Greenschen Integralformeln können als Übertragung der Formel der partiellen Integration auf den mehrdimensionalen Fall angesehen werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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