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Lexikon der Mathematik: Greensche Resolvente

Greensche Funktion Γλ für ein homogenes Randwertproblem, gestellt als Eigenwertaufgabe.

Für die allgemeine homogene Randwertaufgabe L(y) = −λr(x)y, Rµ(y) = 0 (µ = 1, …, n) kann man die Greensche Resolvente für jedes λ, das kein Eigenwert ist, bilden, wenn für die charakteristische Determinante gilt Δ(λ) ≠ 0. Γλ ist eine meromorphe Funktion von λ. Die Vielfachheit eines Pols λ0 bei x und ξ ist höchstens gleich der Vielfachheit, die λ0 als Nullstelle von Δ(λ) hat. Ist λ0 ein kfacher Eigenwert, u1, …, uk, v1,…, vk ein zu λ0 gehörendes Biorthogonalsystem von Eigenfunktionen und λ0 für Γλ0 höchstens ein Pol erster Ordnung, so ist \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}r(t){u}_{p}\,(t){\upsilon }_{p}\,(t)dt\,\,\,\ne \,\,\,0\,\,\,\,(p=1,\mathrm{\ldots },\,k),\end{eqnarray} und das Residuum von Γλ bei λ0 gleich \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{p=1}^{k}\frac{{u}_{p}(x){\upsilon }_{p}(\xi)}{\displaystyle {\int }_{a}^{b}r(t){u}_{p}(t){\upsilon }_{p}(t)dt}.\end{eqnarray}

Dies ist von Bedeutung für die Entwicklung gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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