Greensche Funktion Γ_λ für ein homogenes Randwertproblem, gestellt als Eigenwertaufgabe.

Für die allgemeine homogene Randwertaufgabe L(y) = −λr(x)y, R_µ(y) = 0 (µ = 1, …, n) kann man die Greensche Resolvente für jedes λ, das kein Eigenwert ist, bilden, wenn für die charakteristische Determinante gilt Δ(λ) ≠ 0. Γ_λ ist eine meromorphe Funktion von λ. Die Vielfachheit eines Pols λ₀ bei x und ξ ist höchstens gleich der Vielfachheit, die λ₀ als Nullstelle von Δ(λ) hat. Ist λ₀ ein kfacher Eigenwert, u₁, …, u_k, v₁,…, v_k ein zu λ₀ gehörendes Biorthogonalsystem von Eigenfunktionen und λ₀ für Γ_λ0 höchstens ein Pol erster Ordnung, so ist \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}r(t){u}_{p}\,(t){\upsilon }_{p}\,(t)dt\,\,\,\ne \,\,\,0\,\,\,\,(p=1,\mathrm{\ldots },\,k),\end{eqnarray} und das Residuum von Γ_λ bei λ₀ gleich \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{p=1}^{k}\frac{{u}_{p}(x){\upsilon }_{p}(\xi)}{\displaystyle {\int }_{a}^{b}r(t){u}_{p}(t){\upsilon }_{p}(t)dt}.\end{eqnarray}

Dies ist von Bedeutung für die Entwicklung gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen.