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Lexikon der Mathematik: Grenzwert einer Zahlenfolge

Limes einer Zahlenfolge, zu einer Folge (an) ∈ ℝ oder (an) ∈ ℂ eine reelle bzw. komplexe Zahl a mit der Eigenschaft: \begin{eqnarray}\forall \,\varepsilon \,\gt \,0\,\exists N\,\in \,{\mathbb{N}}\,\forall n\,\ge \,N\,:\,|{a}_{n}\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon \,.\end{eqnarray}

In Worten ausgedrückt: Für jedes ϵ > 0 gilt |ana| < ϵ für alle hinreichend großen n ∈ ℕ. Wenn eine solche Zahl a existiert, nennt man (an) eine konvergente Zahlenfolge und schreibt ana (n →∞) oder einfach ana oder auch limn→∞an = a oder lim an = a mit dem Limes-operator lim und sagt „an konvergiert / strebt gegen a für n gegen Unendlich“.

Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. Eine Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Nicht konvergente Folgen heißen divergente Folgen, wobei man den Fall bestimmter Divergenz, also an → −∞ oder an →∞, noch gesondert betrachtet.

Definiert man für ϵ > 0 die ϵ-Umgebung einer reellen bzw. komplexen Zahl a durch \begin{array}{l}\quad{U}_{a}^{\varepsilon}=\{x\,\in \,{\mathbb{R}}|\,|x\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon\}\,\,\,\,\,\text{bzw}.\\ \quad{U}_{a}^{\varepsilon}=\{x\,\in \,{\mathbb{C}}|\,|x\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon\}\,\,\,\,\,\text{sowie}.\\ {U}_{-\infty }^{\varepsilon}=\{x\in \,{\mathbb{R}}\,|\,x\,\lt \,-\,\frac{1}{\varepsilon}\}\,\,\,\,\,\text{und}\\\quad{U}_{\infty }^{\varepsilon }=\{x\in \,{\mathbb{R}}\,|\,x\,\gt \,\frac{1}{\varepsilon}\},\end{array}

dann gilt für a ∈ R ∪ {−∞, ∞} bzw. a ∈ ℂ \begin{eqnarray}{a}_{n}\,\to \,a\,\iff \,\forall \varepsilon\,\gt \,0\,\exists N\,\in \,{\mathbb{N}}\,\forall n\,\ge \,N\,{a}_{n}\,\in \,{U}_{a}^{\varepsilon},\end{eqnarray}

d. h. es gilt ana genau dann, wenn für jedes ϵ > 0 fast alle Folgenglieder (d. h. bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen) in der ϵ-Umgebung von a liegen, anders gesagt, wenn für jedes ϵ > 0 ein Endstück der Folge in der ϵ-Umgebung von a liegt. Zwei Folgen, die bis auf höchstens endlich viele Glieder übereinstimmen, haben also dasselbe Konvergenzverhalten und (im Konvergenzfall) den gleichen Grenzwert.

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Zahlenfolgen und zur Bestimmung von Grenzwerten kann man, anstatt auf die obige Definition zurückzugreifen, meist Hilfsmittel wie das Teilfolgenkriterium, die Grenzwertsätze für Zahlenfolgen, Stetigkeitsüberlegungen, den Einschnürungssatz, das Monotoniekriterium oder das Cauchy-Konvergenzkriterium heranziehen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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