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Lexikon der Mathematik: Grenzwertsätze für Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen

asymptotische Aussagen, mit deren Hilfe abgeschätzt werden kann, wie die Wahrscheinlichkeiten untypischer Ereignisse, wie z. B. des Auftretens weit vom Erwartungswert einer Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen entfernter Mittelwerte, gegen Null streben. Es gilt z. B. der folgende Satz:

Es sei (Xn)n∈Neine Folge unabhängiger identisch verteilter reeller Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,\,{\mathfrak{A}},\,P)\)mit E(|Xn|) < ∞ und E(Xn) = µ sowie \({S}_{n}\,:=\,\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}\)für alle n ∈ ℕ. Erfüllt die erweitert reellwertige Funktion \begin{eqnarray}I:{\mathbb{R}}\ni x\to \mathop{\sup }\limits_{\vartheta \in {\mathbb{R}}}(\vartheta x-\mathrm{ln}E({e}^{\vartheta {X}_{1}}))\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\cup (\infty )\end{eqnarray}

die Bedingung I(x) < für alle x ∈ ℝ, so gelten für jede Borelsche Teilmenge B vondie Abschätzungen \begin{array}{c}-\,\mathop{\inf }\limits_{x\in \mathrm{int}\,B}I(x)\,\le \,\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\,\inf \,\frac{1}{n}\,In\,P\left(\frac{{S}_{n}}{n}\,\in \,B\right)\\ \le \,\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{n\to \infty }\,\frac{1}{n}\,In\,P\left(\frac{{S}_{n}}{n}\,\in \,B\right)\,\le \,-\,\mathop{\inf }\limits_{x\in CI\,B}\,I(x),\end{array}

wobei int B das Innere und Cl B den Abschluß von B bezeichnet, sowie das über die leere Menge gebildete Infimum von I wie üblich alsinterpretiert wird.

Die Anwendung der Abschätzungen wird dadurch erleichtert, daß unter den Voraussetzungen des Satzes die Funktion I auf (−∞] monoton fällt und auf [µ, ∞) monoton wächst sowie I(µ) = 0 gilt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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