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Lexikon der Mathematik: Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Aussagen über das Konvergenzverhalten zusammengesetzter Zahlenfolgen (also Summenfolgen, Differenzfolgen, usw.).

Sind (an), (bn) konvergente Zahlenfolgen mit Grenzwerten a bzw. b, dann gilt an + bna + b, anbnab und anbnab für n →∞ und insbesondere (man betrachte die konstante Folge (an) = (α)) αbnαb für α ∈ ℝ bzw. α ∈ ℂ, womit sich auch die Linearität des Limesoperators ergibt.

Weiter gilt \(\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}\,\to \,\frac{a}{b}\) für n →∞, wenn bn ≠=0 ist für n ∈ ℕ und b ≠=0, also insbesondere \(\frac{1}{{b}_{n}}\,\to \,\frac{1}{b},\) und es gilt |an| → |a|.

Ferner gilt \(\sqrt[k]{{a}_{n}}\,\to \,\sqrt[k]{a}\) für k ∈ ℕ und an ∈ [0, ∞) (dann ist auch a ∈ [0, ∞)). All dies ergibt sich unmittelbar aus der Stetigkeit der Grundoperationen.

Allgemeiner gilt f(an) → f(a) für in a ∈ \({\mathbb{K}}\) stetige f : \({\mathbb{K}}\) → \({\mathbb{K}}\) und f(an, bn) → f(a, b) für in (a, b) ∈ \({\mathbb{K}}\) stetige \({\mathbb{K}}\) usw., wobei \({\mathbb{K}}\) ∈ {ℝ, ℂ} sei. Dies folgt aus der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit von Funktionen auf metrischen Räumen (hier: Funktionen \({\mathbb{K}}\)n → \({\mathbb{K}}\)). Auch für bestimmt divergente reelle Folgen gelten ähnliche Regeln, die kurz durch folgende (symbolisch zu verstehende) „Gleichungen“ wiedergegeben werden: \begin{eqnarray}\begin{array}{rrrrrr}\infty \pm c & = & \infty, & \infty \cdot (\pm c) & = & \pm \infty \\ -\infty \pm c & = & -\infty, & -\infty \cdot (\pm c) & = & \mp \infty \\ \infty +\infty & = & \infty, & \infty \cdot (\pm \infty ) & = & \pm \infty \\ -\infty -\infty & = & -\infty, & -\infty \cdot (\pm \infty ) & = & \mp \infty \\ \frac{\pm c}{0+}=\frac{\infty }{\pm c} & = & \pm \infty, & \frac{\pm c}{0-}=\frac{-\infty }{\pm c} & = & \mp \infty \\ \frac{\pm \infty }{0+} & = & \pm \infty, & \frac{\pm \infty }{0-} & = & \mp \infty \end{array}\end{eqnarray}

Dabei sei c ∈ (0, ∞), und 0+ bzw. 0− stehe für eine Nullfolge mit positiven bzw. negativen Gliedern.

Die Regel ∞ · (−∞) = −∞ besagt z. B.: Gilt an →∞ und bn → −∞, so folgt anbn → −∞.

\(\frac{+c}{0+}=\infty \,\) besagt: Gilt anc > 0 und bn ↓ 0, so folgt \(\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}\to \,\infty \).

Es gibt keine entsprechenden allgemeinen Regeln für die Differenz und den Quotienten von bestimmt divergenten Folgen – hier sind für die Ergebnisfolge sowohl Konvergenz als auch Divergenz (dabei auch bestimmte Divergenz) möglich. Für an := n, bn := n, \({c}_{n}\,:=\,\frac{n}{2}\) und dn := n + (−1)n hat man z. B. an, bn, cn, dn →∞, es gilt jedoch anbn → 0 und ancn →∞, und (andn) hat keinen Grenzwert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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