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Lexikon der Mathematik: Grenzwertsatz, funktionaler

Invarianzprinzip, auch Satz von Donsker genannt, Aussage über die schwache Konvergenz der Verteilungen einer Folge von zufälligen Funktionen gegen das Wiener-Maß.

Es sei (Xn)n eine Folge von unabhängigen identisch verteilten reellen Zufallsvariablen mit E(Xn) = 0 und Var(Xn) = σ > 0. Weiter bezeichne C[0, 1] den Raum der auf dem Intervall [0, 1] definierten stetigen Funktionen versehen mit der von der Metrik \begin{eqnarray}d(f,g):=\mathop{\sup }\limits_{x\in [0,1]}(|f(x)-g(x)|)\end{eqnarray}

induzierten Topologie der gleichmäßigen Konvergenz und \({S}_{n}\,:=\,\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}\) für jedes n ∈ ℕ die Partial-summe. Ausgehend von den Abbildungen \begin{eqnarray}{Y}_{n}\,:\,\Omega \,\times \,[0,\,1]\,\ni \,(\omega,\,t)\,\to \,\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}{S}_{[nt]}(\omega )\,+\,(nt\,-\,[nt])\,\frac{1}{\sigma \sqrt{n}}{X}_{[nt]\,+1}\,(\omega )\,\in \,{\mathbb{R}},\end{eqnarray}

wobei [x] für jedes x ∈ ℝ den Wert der Gauß-Klammer angibt, erhält man eine Folge (Zn)n∈N von auf \((\Omega,\,{\mathfrak{A}},\,P)\) definierten zufälligen Funktionen \begin{eqnarray}{Z}_{n}\,:\,\Omega \,\in \,\omega \to \,{f}_{n}(w)\,\in \,C[0,\,1]\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray} f_{n}(\omega )\,:\,[0,\,1]\,\ni \,\to \,{Y}_{n}(\omega,\,t)\,\in \,{\mathbb{R}}\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ und alle ω ∈ Ω. Mit diesen Definitionen und Bezeichnungen lautet der funktionale Grenzwertsatz nun:

Ist (Xn)n∈ℕeine Folge von Zufallsvariablen wie oben, so konvergiert die Folge (PZn)n∈ℕder Verteilungen der zufälligen Funktionen (Zn)n∈ℕschwach gegen das Wiener-Maß W auf C[0, 1].

Die Tatsache, daß aus dem Satz auch für jede auf C[0, 1] definierte W-fast sicher stetige Abbildung h die schwache Konvergenz der Verteilungen der zufälligen Funktionen (hZn)n∈N gegen das Bildmaß von W unter h folgt, rechtfertigt die Bezeichnung Invarianzprinzip.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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