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Lexikon der Mathematik: Gronwall, Flächensatz von

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei g in der Klasse Σ, d. h. g ist eine in Δ = {z ∈ ℂ : |z| > 1 } schlichte Funktion mit der Laurent-Entwicklung \begin{eqnarray}g(z)=z\,+\,{b}_{0}\,+\,\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{b}_{n}}{{z}^{n}},\,\,\,\,\,\,\,\,|z|\,\,\gt \,\,1.\end{eqnarray}

Weiter sei E = ℂ \ g(Δ).

Dann gilt \begin{eqnarray}\text{Flache}\text{}\,\,E=\pi \left(1-\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{|{b}_{n}|}^{2}\right),\end{eqnarray}

wobei Fläche E das zweidimensionale Lebesgue-Maß von E ist. Insbesondere gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{|{b}_{n}|}^{2}\,\,\le \,\,\,1.\end{eqnarray}

Ist g ∈ Σ, so folgt aus (1) sofort |b1| ≤ 1. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn g von der Form g(z) = z + b0 + b1/z mit |b1|= 1 ist. In diesem Fall ist E eine Strecke der Länge 4.

Aus (1) ergibt sich weiter |bn| ≤ n−1/2 für alle n ∈ ℕ. Allerdings ist diese Abschätzung nicht best-möglich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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