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Lexikon der Mathematik: Gronwall, Lemma von

analytisches Hilfsresultat, das z. B. in der Theorie der stochastischen Differentialgleichungen zur Anwendung kommt.

Sind f und g Lebesgue-integrierbare Funktionen auf dem Intervall [0, b], b > 0, und existiert eine Konstante C > 0 mit \begin{eqnarray}0\,\,\le \,\,f(t)\,\,\,\le \,\,g(t)\,+\,C\,\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds\end{eqnarray}

für alle t ∈ [0, b], so gilt \begin{eqnarray}f(t)\,\,\,\le \,\,g(t)\,+\,C\,\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{C(t-s)}g(s)ds\end{eqnarray}

für alle t ∈ [0, b]. Existiert speziell eine Konstante A mit gA, so folgt \begin{eqnarray}f(t)\,\le \,A{e}^{Ct}\end{eqnarray}

für alle t ∈ [0, b].

Für die letztgenannte Folgerung findet man auch oft die folgende äquivalente Formulierung, die man dann auch als das diskrete Gronwall-Lemma bezeichnet:

Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall, x0I, a ∈ ℝ, C > 0 und gC0(I). Falls eine Abschätzung der Form \begin{eqnarray}g(x)\le \left\{\begin{array}{c}a+L\displaystyle {\int }_{{x}_{0}}^{x}g(t)dt\,f\ddot{u}r\,x\,\ge {x}_{0},\\ a+L\displaystyle {\int }_{x}^{{x}_{0}}g(t)dt\,f\ddot{u}r\,x\le{x}_{0}\end{array}\right.\end{eqnarray}

für alle xI. existiert, so ist \begin{eqnarray}g(x)\,\le \,a\,\cdot \,\exp \,(L\,|x\,-\,{x}_{0}|)\end{eqnarray}

für alle xI.

Seine Anwendung findet das Lemma in dieser Version unter anderem beim Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangswerten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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