Lexikon der Mathematik: Gronwall, Lemma von
analytisches Hilfsresultat, das z. B. in der Theorie der stochastischen Differentialgleichungen zur Anwendung kommt.
Sind f und g Lebesgue-integrierbare Funktionen auf dem Intervall [0, b], b > 0, und existiert eine Konstante C > 0 mit
für alle t ∈ [0, b], so gilt
für alle t ∈ [0, b]. Existiert speziell eine Konstante A mit g ≡ A, so folgt
für alle t ∈ [0, b].
Für die letztgenannte Folgerung findet man auch oft die folgende äquivalente Formulierung, die man dann auch als das diskrete Gronwall-Lemma bezeichnet:
Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall, x0 ∈ I, a ∈ ℝ, C > 0 und g ∈ C0(I). Falls eine Abschätzung der Form
für alle x ∈ I. existiert, so ist
für alle x ∈ I.
Seine Anwendung findet das Lemma in dieser Version unter anderem beim Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangswerten.
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