zentraler Satz zur Berechnung von Doppelreihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu, \,\nu =1}^{\infty }{a}_{\mu \,\nu }\,.\end{eqnarray}

Der Satz lautet:

Es seien a_{µ ν} für µ, ν ∈ ℕ reelle (oder komplexe) Zahlen, und mit einer Zahl K ∈ [0, ∞) gelte \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu, \,\nu =1}^{N}|{a}_{\mu \,\nu }|\,\le \,K\,\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,alle\,\,\,\,\,\,\,N\,\in \,{\mathbb{N}}\,.\end{eqnarray}

Dann gelten folgende Aussagen:

1. Jede Anordnung der o. a. Doppelreihe in eine Einfachreihe ist absolut konvergent mit stets gleichem Wert σ, d h. für jede bijektive Abbildung \begin{eqnarray}\omega \,:\,{\mathbb{N}}\,\to \,{\mathbb{N}}\,\times \,{\mathbb{N}}\end{eqnarray} (Abzählung von ℕ × ℕ), mit der die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{\omega (j)}\end{eqnarray}gebildet wird, gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{\omega (j)}=\sigma \,.\end{eqnarray}
2. Die Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }{a}_{\mu \,\nu }\,\end{eqnarray} (Zeilensummen) sind für alle µ ∈ ℕ absolut konvergent.
3. Die Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty }{a}_{\mu \,\nu }\end{eqnarray} (Spaltensummen) sind für alle ν ∈ ℕ absolut konvergent.
4. Die Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }{a}_{\mu \,\nu }\right)\,\,\,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\mu =1}^{\infty }{a}_{\mu \,\nu}\right)\end{eqnarray}sind absolut konvergent, und ihre Werte (Summe der Zeilensummen bzw. Summe der Spaltensummen) sind beide gleich σ.

Eine Verallgemeinerung auf summierbare Familien findet man etwa in [2]. Daß der große Umordnungssatz – sogar für banachraumwertige Funktionen – sich einfach aus der allgemeinen Integrationstheorie ergibt, ist zum Beispiel in [1] ausgeführt.

[1] Hoffmann, D.; Schäfke, F.-W.: Integrale. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim Berlin, 1992.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag, 1996.