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Lexikon der Mathematik: Grothendieck-Ring

ein Ring stetiger komplexer Vektorbündel.

Sei M eine topologische Mannigfaltigkeit und F die freie abelsche Gruppe, erzeugt von den Isomorphieklassen komplexer Vektorbündel von endlichem Rang. Einer kurzen exakten Sequenz \begin{eqnarray}0\,\to \,{V}_{1}\,\to \,{V}_{3}\,\to \,{V}_{2}\,\to \,0\end{eqnarray} von Vektorbündeln sei das Element [V3] − [V2] − [V1] aus F zugeordnet. Ist U die Untergruppe, erzeugt von allen solchen Elementen, dann ist der Grothendieck-Ring definiert als Quotient F/U. Die Ringaddition + ist gegeben durch die direkte Summe der Vektorbündel, die Ringmultiplikation · durch das Tensorprodukt der Vektorbündel.

Dieselbe Konstruktion ist auch für die Kategorie der differenzierbaren (analytischen oder algebraischen) Vektorbündel über einer differenzierbaren (analytischen bzw. algebraischen) Mannigfaltigkeit durchführbar. Für die Kategorie der kohärenten Garben über einer algebraischen Mannigfaltigkeit ist die analoge Konstruktion ebenfalls möglich. Allerdings sind hier in der Definition der Multiplikation noch höhere Torsionsobjekte zum Tensorprodukt hinzuzufügen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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