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Lexikon der Mathematik: Grothendieck-Topologie

gegeben auf einer Kategorie \(\mathcal{C}\), indem jedem Objekt X eine Menge J(X) von Sieben zugeordnet ist, so daß folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

  1. (T1) \(\hat{X}\,\in \,J(X)\,\), wobei \(\hat{X}\,\,\) den Kofunktor U )↦ Hom(U, X) bezeichnet.
  2. (T2) Für Morphismen \({X}^{\prime}\,\mathop{\to }\limits^{h}\,X\,\) in \(\mathcal{C}\) und RJ(X) ist h−1(R) ∈ J(X′) (h−1(R)(U) = {f : YX′ | hfR(U)}).
  3. (T3) Wenn RJ(X) und R′ ein Sieb von X ist, so daß für alle fR(U)(⊆ Hom(U, X)) gilt f−1(R′) ∈ J(U), so ist R′J(X).

Ein wichtiges Beispiel ist die Etaltopologie Xet eines Schemas X: Objekte sind hier Etalmorphismen \({X}^{\prime}\,\mathop{\to }\limits^{f}\,X\), Morphismen von \({X}^{\prime}\,\mathop{\to }\limits^{f}\,X\) nach \({X}^{\prime \prime}\,\mathop{\to }\limits^{g}\,X\)X sind Morphismen \({X}^{\prime}\,\mathop{\to }\limits^{h}\,{X}^{\prime \prime}\) mit gf = f. Eine Familie \(\hat{U}=\{{U}_{\alpha }\,\mathop{\to }\limits^{{f}_{\alpha }}\,{X}^{\prime}\}\) heißt Etalüberdeckung, wenn \(\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{\alpha }{f}_{\alpha }\,({U}_{\alpha })={X}^{\prime}\). Jede solche Etalüberdeckung definiert ein Sieb von \({R}_{\check{{\mathfrak{U}}}}\)X′.

Sei \({R}_{\check{{\mathfrak{U}}}}\,({X}^{\prime \prime})=\{h:\,{X}^{\prime \prime}\,\to \,{X}^{\prime}\,\,\) es gibt ein α und eine Zerlegung, \(\,h={f}_{\alpha }\circ{h}_{\alpha }\,:\,{X}^{\prime \prime}\,\mathop{\to }\limits^{{h}_{\alpha }}\,{U}_{\alpha }\,\mathop{\to }\limits^{{f}_{\alpha }}\,{X}^{\prime}\)}.

Definiert man J(X′) als Menge aller Siebe R von X′, die ein solches Sieb \({R}_{\check{{\mathfrak{U}}}}\) für eine Etalüberdeckung \(\check{{\mathfrak{U}}}\,\) von X′ enthalten, erhält man eine Grothendieck-Topologie.

Grothendieck-Topologien und insbesondere Etaltopologien sind ein wesentliches Hilfsmittel beim Beweis der Weilschen Vermutung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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