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Lexikon der Mathematik: Grothendieck-Ungleichung

fundamentales Resultat aus Grothendiecks Theorie der Tensorprodukte von Banachräumen.

Lindenstrauss und Pelczyński haben es in folgende Matrixungleichung übersetzt; dabei steht \({\mathbb{K}}\) für ℝ oder ℂ:

Es existiert eine Konstante KG mit folgender Eigenschaft: Ist (aij) eine (n × n)-Matrix über \({\mathbb{K}}\)mit \begin{eqnarray}|\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{a}_{ij}{s}_{i}{t}_{j}|\,\,\,\le \,\,\,\max \,|{s}_{i}|\,\cdot \,\max \,|{t}_{j}|\,\end{eqnarray}für si, tj ∈ \({\mathbb{K}}\), so gilt für beliebige Vektoren xi, yj eines Hilbertraums über \({\mathbb{K}}\)\begin{eqnarray}|\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{a}_{ij}\langle {x}_{i},\,{y}_{j}\rangle |\,\,\,\le \,\,{K}_{G}\,\max \,\text{||}{x}_{i}\text{||}\,\,\cdot \,\,\text{max}\,\text{||}{y}_{j}\text{||}\,\end{eqnarray}

Die kleinstmögliche Konstante in (2) heißt Grothendieck-Konstante; ihr exakter Wert ist zur Zeit noch nicht bekannt. Die momentan (2001) besten Abschätzungen lauten \begin{eqnarray}1.676\,\,\,\le \,\,\,{K}_{G}\,\,\,\le \,\,\,1.783\,\,\,\,\,({\mathbb{K}}={\mathbb{R}}),\\ 1.338\,\,\,\le \,\,\,{K}_{G}\,\,\,\le \,\,\,1.405\,\,\,\,\,({\mathbb{K}}={\mathbb{C}}).\end{eqnarray}

Die Grothendieck-Ungleichung kann äquivalent mittels p-summierender Operatoren beispielsweise wie folgt umgeschrieben werden.

Ist X = L1(µ) und Y ein Hilbertraum, so ist jeder stetige lineare Operator T : XY absolut 1-summierend, und es gilt \begin{eqnarray}{\pi }_{1}\,(T)\,\,\,\,\le \,\,\,\,{K}_{G}\,\text{||}T\text{||}.\end{eqnarray}

[1] Defant, A.; Floret, K.: Tensor Norms and Operator Ideals. North-Holland Amsterdam, 1993.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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