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Lexikon der Mathematik: Grundgleichungen der allgemeinen Relativitäts-theorie

die Gleichungen für die Bewegung eines Massepunktes in einer vierdimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M, g).

Diese Gleichungen werden auch auf die Bewegung größerer Objekte, wie der Planeten im Schwerefeld der Sonne angewendet.

Die Bewegung des Massepunktes wird durch eine raumartige Kurve α(t) beschrieben, die etwa ein Intervall (a, b) ⊂ ℝ in M abbilden möge. Die Grundgleichungen sind die Euler-Lagrange-Gleichungen des Lagrange-Funktionals \begin{eqnarray} {\mathcal L} \,(\alpha )=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\,({\alpha }^{\prime}\,(\tau ),\,{\alpha }^{\prime}\,(\tau ))\,d\tau, \end{eqnarray} dessen Lösungen die Geodätischen von (M, g) sind. In lokalen Koordinaten (x1, …, xn) auf M hat α die Darstellung α(t) = (x1(t), …, xn(t)). Mit Hilfe der Christoffelsymbole nehmen die Grundgleichungen die Gestalt \begin{eqnarray}\frac{{d}^{2}{x}^{k}}{d{t}^{2}}\,+\,{\Gamma }_{ij}^{k}\,\frac{d{x}^{i}}{d{t}^{2}}\,\frac{d{x}^{j}}{d{t}^{2}}=0\end{eqnarray} an. Diesen Gleichungen genügen auch die Bewegungen der Lichtteilchen (Allgemeine Relativitätstheorie).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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