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Lexikon der Mathematik: Grundlösung

Funktion g :[a, b]×[a, b] → ℝ, die für die auf dem Intervall [a, b] gegebene homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung \begin{eqnarray}{y}^{(n)}\,+\,{a}_{n\,-\,1}\,(x){y}^{(n\,-\,1)}\,+\,\,\mathrm{\ldots }\,+\,{a}_{0}\,(x)y=0\end{eqnarray} die folgenden vier Eigenschaften besitzt:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Grundlösung
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  1. 1) Zu g(x, ξ) existieren in jedem der beiden Dreiecke axξb und aξxb die partiellen Ableitungen nach x bis zur einschließlich n-ten Ordnung, diese Ableitungen sind in jedem der beiden Dreiecke stetige Funktionen von x und ξ.
  2. 2) g(x, ξ) ist als Funktion von x in jedem der beiden Dreiecke eine Lösung der homogenen Differential-gleichung (1).
  3. 3) g(x, ξ) ist auf dem gesamten Quadrat [a, b] × [a, b] stetig und (n − 2)-mal nach x differenzierbar, diese Ableitungen sind auf dem gesamten Quadrat stetige Funktionen von x und ξ.
  4. 4) Auf der Diagonalen macht die (n − 1)-te Ableitung von g(x, ξ) nach x einen Sprung der Größe \(\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\), d. h. für a < x < b ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)\,-\,\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)=\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\,.\end{eqnarray}

Ist g eine Grundlösung der homogenen Gleichung (1), dann ist \begin{eqnarray}y(x)\,\text{:}=\,\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\,(x,\xi )\,b\,(\xi )\,d\xi \end{eqnarray} eine Lösung der entsprechenden inhomogenen Differentialgleichung mit der Inhomogenität b(x).

Zu jeder homogenen linearen Differentialgleichung existiert eine Grundlösung. Aus einem Fundamentalsystem y1, …, yn der Differentialgleichung (1) und der zugehörigen Wronski-Determinante W ist eine Grundlösung von (1) gegeben durch: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}g\,(x,\xi )\,=\\ =\,\,\frac{\mathrm{sgn}\,(x\,-\,\xi )}{2{a}_{n}(\xi )\,W\,(\xi )}\,\cdot \,\det \,\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{y}_{1}\,(\xi )\\ {y}^{\prime}_{1}\,(\xi )\\ \vdots \\ \begin{array}{c}{y}_{1}^{(n\,-\,2)}\,(\xi )\\ {y}_{1}(x)\end{array}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}\ldots \\ \ldots \end{array}\\ \\ \begin{array}{c}\ldots \\ \ldots \end{array}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}{y}_{n}\,(\xi )\\ {y}^{\prime}_{n}\,(\xi )\end{array}\\ \vdots \\ \begin{array}{c}{y}_{n}^{(n\,-\,2)}\,(\xi )\\ {y}_{n}(x)\end{array}\end{array}\end{array}\right)\,.\end{array}\end{eqnarray}

Für diese spezielle Grundlösung gilt \begin{eqnarray}g\,(\xi, \,\xi )=\frac{\partial g}{\partial x}\,(\xi, \,\xi )=\ldots =\frac{{\partial }^{n\,-\,2}g}{\partial {x}^{n\,-\,2}}\,(\xi, \,\xi )=0\,.\end{eqnarray}

Alle Grundlösungen von (1) sind dann mit stetigen Funktionen ci von der Form \begin{eqnarray}g\,(x,\,\xi )\,+\,{c}_{1}\,(\xi ){y}_{1}\,(x)\,+\,\ldots \,+\,{c}_{n}\,(\xi ){y}_{n}(x).\end{eqnarray}

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.
[2] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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