Funktion g :[a, b]×[a, b] → ℝ, die für die auf dem Intervall [a, b] gegebene homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung \begin{eqnarray}{y}^{(n)}\,+\,{a}_{n\,-\,1}\,(x){y}^{(n\,-\,1)}\,+\,\,\mathrm{\ldots }\,+\,{a}_{0}\,(x)y=0\end{eqnarray} die folgenden vier Eigenschaften besitzt:

1. 1) Zu g(x, ξ) existieren in jedem der beiden Dreiecke a ≤ x ≤ ξ ≤ b und a ≤ ξ ≤ x ≤ b die partiellen Ableitungen nach x bis zur einschließlich n-ten Ordnung, diese Ableitungen sind in jedem der beiden Dreiecke stetige Funktionen von x und ξ.
2. 2) g(x, ξ) ist als Funktion von x in jedem der beiden Dreiecke eine Lösung der homogenen Differential-gleichung (1).
3. 3) g(x, ξ) ist auf dem gesamten Quadrat [a, b] × [a, b] stetig und (n − 2)-mal nach x differenzierbar, diese Ableitungen sind auf dem gesamten Quadrat stetige Funktionen von x und ξ.
4. 4) Auf der Diagonalen macht die (n − 1)-te Ableitung von g(x, ξ) nach x einen Sprung der Größe \(\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\), d. h. für a < x < b ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)\,-\,\mathop{\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}}\limits_{\varepsilon \,\gt \,0}\,\frac{{\partial }^{n\,-\,1}g}{\partial {x}^{n\,-\,1}}\,(x\,+\,\varepsilon, \,x)=\frac{1}{{a}_{n}\,(x)}\,.\end{eqnarray}

Ist g eine Grundlösung der homogenen Gleichung (1), dann ist \begin{eqnarray}y(x)\,\text{:}=\,\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\,(x,\xi )\,b\,(\xi )\,d\xi \end{eqnarray} eine Lösung der entsprechenden inhomogenen Differentialgleichung mit der Inhomogenität b(x).

Zu jeder homogenen linearen Differentialgleichung existiert eine Grundlösung. Aus einem Fundamentalsystem y₁, …, y_n der Differentialgleichung (1) und der zugehörigen Wronski-Determinante W ist eine Grundlösung von (1) gegeben durch: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}g\,(x,\xi )\,=\\ =\,\,\frac{\mathrm{sgn}\,(x\,-\,\xi )}{2{a}_{n}(\xi )\,W\,(\xi )}\,\cdot \,\det \,\left(\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}{y}_{1}\,(\xi )\\ {y}^{\prime}_{1}\,(\xi )\\ \vdots \\ \begin{array}{c}{y}_{1}^{(n\,-\,2)}\,(\xi )\\ {y}_{1}(x)\end{array}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}\ldots \\ \ldots \end{array}\\ \\ \begin{array}{c}\ldots \\ \ldots \end{array}\end{array} & \begin{array}{c}\begin{array}{c}{y}_{n}\,(\xi )\\ {y}^{\prime}_{n}\,(\xi )\end{array}\\ \vdots \\ \begin{array}{c}{y}_{n}^{(n\,-\,2)}\,(\xi )\\ {y}_{n}(x)\end{array}\end{array}\end{array}\right)\,.\end{array}\end{eqnarray}

Für diese spezielle Grundlösung gilt \begin{eqnarray}g\,(\xi, \,\xi )=\frac{\partial g}{\partial x}\,(\xi, \,\xi )=\ldots =\frac{{\partial }^{n\,-\,2}g}{\partial {x}^{n\,-\,2}}\,(\xi, \,\xi )=0\,.\end{eqnarray}

Alle Grundlösungen von (1) sind dann mit stetigen Funktionen c_i von der Form \begin{eqnarray}g\,(x,\,\xi )\,+\,{c}_{1}\,(\xi ){y}_{1}\,(x)\,+\,\ldots \,+\,{c}_{n}\,(\xi ){y}_{n}(x).\end{eqnarray}

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.
[2] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.