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Lexikon der Mathematik: Gruppe

Menge mit binärer Operation, die den unten definierten Gruppenaxiomen genügt.

Die Gruppe kann additiv oder multiplikativ geschrieben werden. Es ist üblich, die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen zu verwenden.

Die nichtleere Menge G werden mit der binären Operation „ • ” versehen: Für ƒ,g ∈ G ist ƒ • g ∈ G und heißt das Produkt von ƒ und g.

Die Gruppenaxiome lauten:

  1. Assoziativität: Für alle ƒ, g, h ∈ G gilt (ƒ • g) • h = ƒ • (g • h).
  2. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein e ∈ G so, daß für jedes g ∈ G gilt: e • g = g • e = g .
  3. Existenz eines inversen Elements: Für jedes g ∈ G gibt es ein mit g-1 bezeichnetes Inverses, für das gilt: g • g-1 = g-1 • g = e .

Gruppen gehören sicherlich zu den grundlegensten Strukturen innerhalb der Mathematik; mit ihnen und ihren Eigenschaften befaßt sich die Gruppentheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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