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Lexikon der Mathematik: Gruppenoperation

Abbildung Φ : M × GM für eine Menge M und eine Gruppe (G, ○) (das neutrale Element sei mit e bezeichnet), für die gilt:

  1. Φ(m, e) = m für alle mM,
  2. Φ(Φ(s, m), t) = Φ(ts, m) für alle mM und alle s, tG.

Man sagt dann auch, die Gruppe G operiere auf M.

Die Gruppe G operiert in natürlicher Weise auf sich selbst, z. B. durch

  1. (m, s) ↦ sm für alle m, sG (Linkstranslation),
  2. (m, s) ↦ ms−1 für alle m, sG (Rechtstranslation),
  3. (m, s) ↦ sms−1 für alle m, sG (innerer Automorphismus).

Allgemein operiert für eine Gruppe G und eine Untergruppe HG die Gruppe G auf ihrer Nebenklasse G/H durch (s, A) ↦ sA.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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