Abbildung Φ : M × G → M für eine Menge M und eine Gruppe (G, ○) (das neutrale Element sei mit e bezeichnet), für die gilt:

1. Φ(m, e) = m für alle m ∈ M,
2. Φ(Φ(s, m), t) = Φ(t ○ s, m) für alle m ∈ M und alle s, t ∈ G.

Man sagt dann auch, die Gruppe G operiere auf M.

Die Gruppe G operiert in natürlicher Weise auf sich selbst, z. B. durch

1. (m, s) ↦ s ○ m für alle m, s ∈ G (Linkstranslation),
2. (m, s) ↦ m ○ s⁻¹ für alle m, s ∈ G (Rechtstranslation),
3. (m, s) ↦ s ○ m ○ s⁻¹ für alle m, s ∈ G (innerer Automorphismus).

Allgemein operiert für eine Gruppe G und eine Untergruppe H ⊂ G die Gruppe G auf ihrer Nebenklasse G/H durch (s, A) ↦ s ○ A.