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Lexikon der Mathematik: Guldin-Regeln

Regeln zum Bestimmen von Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern.

Ein Körper entstehe durch die Rotation einer ebenen geschlossenen Kurve C um eine außerhalb von C in der Ebene von C liegende Gerade. I sei der Inhalt der von C umschlossenen Fläche, U die Länge von C und R der Abstand des Schwerpunkts der von C umschlossenen Fläche von der Rotationsachse.

Dann besagt die erste Guldin-Regel, daß das Volumen des Rotationskörpers gleich ist dem Produkt aus der Fläche und dem Weg, den der Schwerpunkt der Fläche bei der Rotation zurücklegt, d. h. es gilt V = I 2πR.

Die zweite Guldin-Regel besagt, daß die Oberfläche des Rotationskörpers gleich ist dem Produkt aus der Länge der Randkurve und dem Weg, den der Schwerpunkt der Fläche bei der Rotation zurücklegt, d. h. es gilt O = U 2πR. Zum Beispiel entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Radius r um eine Achse, die vom Kreismittelpunkt (also dem Flächenschwerpunkt) den Abstand Rr hat, ein Torus (vgl. Abbildung).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Guldin-Regeln
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Guldin-Regeln

Dann hat man I = πr2 und U = 2πr. Damit ergibt sich aus der ersten Guldin-Regel das Volumen des Torus als \begin{eqnarray}V=\pi {r}^{2}\,2\pi R=2{\pi }^{2}{r}^{2}R,\end{eqnarray} und aus der zweiten Guldin-Regel seine Oberfläche als \begin{eqnarray}O=2\pi r\,2\pi R=4{\pi }^{2}rR.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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