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Lexikon der Mathematik: Gutzmer, Formel von

Formel (1) im folgenden Satz.

Es sei \(f(z)=\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}\,{(z\,-\,{z}_{0})}^{n}\)eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, 0 < r < R und \(M(r)\,:=\,\mathop{\max }\limits_{|z\,-\,{z}_{0}|=r}\,\,|f(z)|\). Dann gilt \begin{array}{lcl}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{|{a}_{n}|}^{2}\,{r}^{2n} & = & \frac{1}{2\pi }\,\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f({z}_{0}\,+\,r{e}^{i\varphi })|}^{2}\,d\varphi\\ & \le & {(M(r))}^{2}.\end{array}

Eine entsprechende Formel gilt auch für Laurent-Reihen.

Es sei \(f(z)=\displaystyle {\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}\,{(z\,-\,{z}_{0})}^{n}\)eine Laurent-Reihe, die im Kreisring { z ∈ ℂ : ϱ < |z| < σ } mit 0 ≤ ϱ < σ ≤ ∞ konvergiert. Weiter sei ϱ < r < σ und \(M(r)\,:=\,\mathop{\max }\limits_{|z\,-\,{z}_{0}|=r}\,\,|f(z)|\). Dann gilt \begin{array}{lcl}\displaystyle \sum _{n=-{\infty}}^{\infty }{|{a}_{n}|}^{2}\,{r}^{2n} & = & \frac{1}{2\pi }\,\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f({z}_{0}\,+\,r{e}^{i\varphi })|}^{2}\,d\varphi\\ & \le & {(M(r))}^{2}.\end{array}

Für r > 0 und z0 ∈ ℂ bildet die Menge aller Potenzreihen mit Entwicklungspunkt z0 und Konvergenzradius R > r einen komplexen Vektorraum V. Setzt man für f, gV \begin{eqnarray}\langle f,g\rangle \,:=\,\frac{1}{2\pi }\,\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f({z}_{0}\,+\,r{e}^{i\varphi })\,\overline{g\,({z}_{0}\,+\,r{e}^{i\varphi })}\,d\varphi, \end{eqnarray} so wird hierdurch ein Skalarprodukt in V definiert und damit V zu einem unitären Raum. Die Menge { en : n ∈ ℕ0 } mit \begin{eqnarray}{e}_{n}(z)\,:=\,{r}^{-n}\,{(z\,-\,{z}_{0})}^{n},\,\,\,\,\,\,z\,\in \,{\mathbb{C}}\end{eqnarray} bildet ein Orthonormalsystem in V, d. h. ⟨em, en⟩=1 für m = n und ⟨em, en⟩ = 0 für mn. Jede Potenzreihe \begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}\,{(z\,-\,{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray} kann dann als Orthogonalreihe \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\langle f,{e}_{n}\rangle \,{e}_{n}\end{eqnarray} mit den Fourierkoeffizienten ⟨ f, en⟩ = anrn geschrieben werden. Die Gutzmersche Formel (1) ist dann gerade die Parsevalsche Gleichung \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }^{2}\,:=\,\langle f,f\rangle ={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\langle f,{e}_{n}\rangle |}^{2}.\end{eqnarray}

Allerdings ist V nicht vollständig und daher kein Hilbertraum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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