das (links- oder rechts-) invariante Borel-Maß auf einer lokal-kompakten topologischen Gruppe G.

Ist G eine topologische Gruppe, so kann man immer ein Borel-Maß μ finden, das unter Links-Multiplikation invariant ist: Ist E eine Borel-Menge in G, so gilt μ(gE) = μ(E) für alle g ∈ G. Dieses <?PageNum _352Maß heißt das links-invariante Haar-Maß von G und ist immer bis auf positive multiplikative Konstanten eindeutig bestimmt. Entsprechendes gilt für das rechts-invariante Haar-Maß. Man beachte jedoch, daß ein links-invariantes Maß nicht notwendigerweise automatisch rechts-invariant ist, der Zusammenhang zwischen beiden Maßen wird dann durch die modulare Funktion Δ von G hergestellt: Ist μ das linksinvariante Maß, so ist \begin{eqnarray}\mu(Es)=\Delta(s)\mu(E)\end{eqnarray} für alle Borel-Mengen E ⊂ G und alle s ∈ G.

Ist G eine kompakte Gruppe, so normalisiert man üblicherweiße μ derart, daß μ(G) = 1 wird.

Das Haar-Maß auf der additiven Gruppe der reellen Zahlen ist zum Beispiel einfach das Lebesgue-Maß.

[1] Halmos, P.R.: Measure Theory. Van Nostrand Amsterdam, 1950.