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Lexikon der Mathematik: Haarscher Raum

linearer Raum von Funktionen, dessen Elemente höchstens eine begrenzte Anzahl von Nullstellen haben.

Ein Teilraum V von C[a, b] endlicher Dimension n ist ein Haarscher Raum, wenn jede Funktion νV, die nicht identisch Null ist, höchstens (n — 1) Nullstellen in [a, b] hat. Man sagt in diesem Fall auch, daß V die Haarsche Bedingung erfüllt.

Allgemeiner kann auch das Intervall [a, b] durch eine kompakte Menge X ersetzt werden, jedoch existieren keine (nichttrivialen) Haarschen Räume multivariater Funktionen.

Es gilt folgender Charakterisierungssatz für Haarsche Räume:

Ein n-dimensionaler Teilraum V von C[a, b] ist genau dann ein Haarscher Raum, wenn für jede Wahl von n Punkten x1, …, xn ∈ [a, b] und n Daten y1, …, yn genau ein νV existiert, das das Problem der Interpolation \begin{eqnarray}v^{\ast}(x_{\nu})=y_{\nu},\quad \nu=1,\ldots,n,\end{eqnarray}löst.

Die Funktion ν* ist in diesem Fall eindeutig bestimmt.

Aufgrund dieses Satzes nennt man Haarsche Räume manchmal auch Interpolationsräume.

Haarsche Räume haben für die Approximationstheorie essentielle Bedeutung, denn es gilt folgender Satz von Haar und Kolmogorow:

Es sei V ein Haarscher Raum. Dann besitzt jede Funktion f ∈ C[a, b] eine eindeutig bestimmte beste Approximation (bezüglich der Maximum-Norm) aus V.

In gewissem Sinn ist auch die Umkehrung dieses Satzes richtig, denn es gilt folgende Aussage:

Ist V ein n-dimensionaler Teilraum von C[a, b], und existiert eine Funktion w e V mit n paarweise verschiedenen Nullstellen, dann gibt es ein f ∈ C[a, b] mit mehr als einer besten Approximation aus V.

Haarsche Räume sind also in gewissen Sinn genau die „richtigen“ Räume für die beste Approximation im linearen Fall.

Um dieses Konzept auf die nicht-lineare Approximation zu übertragen, hat man sehr erfolgreich die lokale Haarsche Bedingung und die globale Haarsche Bedingung eingeführt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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