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Lexikon der Mathematik: Hadamard-Produkt

wie folgt definiertes Produkt zweier Potenzreihen.

Es seien \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{{a}_{n}}{{z}^{n}}\) und \(g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{{b}_{n}}{{z}^{n}}\) Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien Rf und Rg.

Dann ist das Hadamard-Produkt f * g von f und g definiert durch \begin{eqnarray}(f*g)(z):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}b_{n}z^{n}.\end{eqnarray} Manche Autoren schreiben statt f * g auch fg. Für den Konvergenzradius R von f * g gilt dann \begin{eqnarray}R\geq R_{f}\cdot R_{g}.\end{eqnarray}

Das Hadamard-Produkt ist offenbar kommutativ und assoziativ. Weiter ist die geometrische Reihe \begin{eqnarray}\gamma(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}=\frac{1}{1-z}\end{eqnarray} das Einselement, d. h. f * γ = f. Jedoch besitzt nicht jedes f ein inverses Element bezüglich *. Falls jedoch bei gegebenem f an ≠ 0 für alle n ∈ ℕ0 gilt, und die Potenzreihe \begin{eqnarray}f_{-1}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{a_{n}}z^{n}\end{eqnarray}f−1 das inverse Element von f, denn f * f−1 = γ. Ersetzt man in der Algebra der konvergenten Potenzreihen die übliche Multiplikation durch das Hadamard-Produkt, so erhält man ebenfalls eine ℂ-Algebra, die jedoch Nullteiler besitzt.

Es gilt folgende Integraldarstellung für das Hadamard-Produkt: \begin{eqnarray}(f*g)(z):=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma}f(\zeta)g\Biggl(\frac{z}{\zeta}\Biggr)\frac{d\zeta}{\zeta}.\end{eqnarray} Dabei ist Γ die positiv orientierte Kreislinie mit Mittelpunkt 0 und Radius r, 0 < r < Rf und |z| < rRg. Aufgrund dieser Formel nennt man f * g auch die Faltung von f und g.

Das Hadamard-Produkt spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der schlichten Funktionen im Einheitskreis, vgl. hierzu auch Pólya-Schoenberg-Vermutung.

Die Funktion f * g ist holomorph in der offenen Kreisscheibe BR (0). Unter gewissen Voraussetzungen besitzt f * g eine holomorphe Fortsetzung in ein Gebiet, das BR(0) echt enthält. Das Hauptergebnis zu diesem Thema ist der Hadamardsche Multiplikationssatz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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