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Lexikon der Mathematik: Hadamardscher Multiplikationssatz

liefert eine Aussage über die holomorphe Fortsetzbarkeit des Hadamard-Produkts f * g zweier Potenzreihen f und g.

Um den Satz übersichtlich formulieren zu können, sind einige Bezeichnungen notwendig. Für nichtleere Mengen A, B ⊂ ℂ wird gesetzt Ac := ℂ\A, \begin{eqnarray}A\cdot B :=\{ab:a\in A,\ b\in B\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}A*B := (A^{c}\cdot B^{c})^{c}.\end{eqnarray} .

Ist D ⊂ ℂ eine offene Menge mit 0 ∈ D, so sei D0 die Zusammenhangskomponente von D mit 0 ∈ D0. Sind G1, G2 ⊂ ℂ Gebiete mit 0 ∈ G1G2, so ist G1 * G2 eine offene Menge mit 0 ∈ G1 * G2, aber im allgemeinen kein Gebiet. Sind jedoch G1 und G2 Sterngebiete bezüglich 0, so gilt dies auch für G1 * G2. Damit gilt:

Es seien \begin{eqnarray}f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\ und\ g(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}\end{eqnarray}Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien. Weiter seien Gf, Gg ⊂ ℂ Gebiete mit 0 ∈ GfGg derart, daß f bzw. g holomorphe Fortsetzungen in Gf bzw. Gg besitzen.

Dann ist f * g in das Gebiet (Gf * Gg)0holomorph fortsetzbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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